TPE SUR LES PROPRIÉTÉS DU CERCLE

« mathématique suivante : soit C un cercle de rayon R et de centre 0 et M un point quelconque.

On considère une droite passant par M et coupant le cercle en A et B.

On a alors MA x Ms; MO' -R ' Cette quantité qui peut être notée Pc(M) est appellée puissance du point M.

Couramment, on utilise les valeurs algébriques pour exprimer MA et MB On en déduit que M est extérieur au cercle C si et seulement si Pc(M) > 0; M appartient au cercle C si et seulement si Pc(M); o; M est intérieur au cercle C si et seulement si Pc(M) >0.

M B Cette quantité permet par exemple d'étudier la cocyclicité de quatre points .

Ainsi soit deux droites sécantes en M .

Prenons A, B, C et D, respectivement deux points sur chacune des deux droites: Si MA.MB; Mc.MD alors il existe un cercle passant par ces quatre points.

On dit qu'ils sont cocycliques.

AXE RADICAL L'axe radical de deux cercles est l'ensemble des points ayant la même puissance par rapport à deux cercles.

Cet axe est une droite perpendiculaire à la droite reliant les centres des deux cercles.

Si les deux cercles sont sécants, leur axe radical est la droite passant par les deux points d'intersection.

Si les deux cercles sont tangents en un point, leur axe radical est la tangente commune qui les sépare.

Dans le cas de deux cercles non sécants, l'axe radical.

est aussi l'ensemble des points desquels on peut RELATIONS ENTRE LES CERCLES On définit deux cercles comme orthogonaux si en chacun des deux points d'intersection, les tangentes à l'un et à l'autre sont orthogonales.

En fait, pour des raison de symétrie, il suffit que les tangentes soit orthogonales en un seul des deux points d'intersection pour que cela soit vrai sur le deuxième.

On observe que chaque tangente à l'un des cercles passe par le centre de l'autre cercle .

Par ailleurs , le triangle formé par les deux centres et l'un des points d'intersection est un triangle rectangle en ce point.

Soit A ce point et 0 et R et 0' et R', respectivement les deux centres et les deux rayons des cercles, on vérifie donc le théorème de Pythagore sur ce triangle : 00'' ; AO' + A0'2 soit 00' 2 ; R2 + R'2 Quand les centres de plusieurs cercles sont alignés sur une même droite , l'ensemble des cercles considérés constitue ce que l'on appelle un faisceau de cercles.

Lorsque les cercles d'un faisceau se coupent en deux points, la droite reliant les centres de ces cercles est la médiatrice du segment reliant les deux points d'intersection.

Ces deux points sont appelés points de base.

Les cercles constituent un faisceau de cercles tangents lorsqu'ils sont tangents en un point situé sur l'axe radical.

• Faisceau à points limites : soit un cercle C quelconque et une droite D quelconque mais non sécants.

La projection du centre 0 de C sur D définit le point K.

Une tangente à C passant par K défini le point T sur le cercle.

Si l'on trace un cercle de centre K passant parT, il coupe OK en U et V.

L'ensemble des cercles admettant D comme axe radical correspond à l'ensemble des cercles dont les extrémités d'un diamètre coupent harmoniquement le segment UV.

Ces cercles forment un faisceau à points limites déterminé par C et D .

• Faisceaux orthogonaux :soit Cet Cl, deux cercles non concentriques .

11 existe une infinité de cercles G orthogonaux à Cet Cl.

Tous ces cercles sont orthogonaux à tous les cercles du faisceau déterminé parC et Cl.

L'axe radical d'un des faisceaux est la droite des centres de l'autre.

Si l'un des faisceaux est formé de cercles tangents , il en est de même de l'autre.

Sinon si l'un des faisceaux est à points de base, l'autre est à point limites , et il y a identité entre ces couples de points .

TANGENCE ET CONSTRUCTIONS PARTICULIÈRES Théorème de Descartes et cercles de Soddy Le théorème de Descartes établit la relation entre quatre cercles tangents .

Plus exactement, il permet de connaître le rayon (voire la position du centre) d'un cercle tangent à trois autres cercles tangents entre eux.

L'équation accepte deux réponses.

L'une correspond à un cercle plus petit coincé entres les trois autres, la seconde correspond à un cercle plus grand que les trois autres et qui les englobe.

Descartes le décrit en 1646 et Soddy le redécouvrira en 1936 .

C'est pourquoi on appelle souvent cette construction cercles de Soddy .

Cercles d'Apollonius Avant Descartes et Soddy, Appolonius de Perga avait déjà découvert de manière empirique cette construction.

Ainsi, il construisait un fractal engendré à partir de trois cercles dont deux au moins de ceux-ci sont tangents à un troisième.

11 découvrit qu'il existait deux cercles tangents aux trois premiers et que l'on pouvait continuer ainsi la construction, les deux nouveaux cercles ayant eux-mêmes leurs cercles d'Apollonius.

QUELQUES PROPRIÉrtS AMUSANTES De nombreuses relations ont été mise s en évidence entre les cercles, leurs surfaces et leurs points d'intersections.

En voici quelques exemples amusants et parfois étonnants.

mener des segments tangents de même 0 longueur vers les deux cercles.

S'ils sont 1---;,...----- ~'--------=--1 Cercles concentriques sécants, seuls les segments de droites Prenons cinq cercles concentriques de non inclus dans les cercles vérifient rayon respectifs 1, 2, 3, 4 et 5.

La cette propriété.

L'axe radical de deux surface couverte par le cercle 3 est cercles dont l'un est intérieur à l'autre égale à la surface comprise entre le sera donc à l'extérieur de ceux-ci.

cercle de rayon 4 et le cercle de rayon Théorème des axes radicaux : soit trois 5 .

En effet, si on compare les aires cela cercles définissant trois axes radicaux .

donne : Leurs trois axes sont soient confondus, Jt32 ; Jt52 -Jt42 soit parallèles soit concourants.

Quand les trois axes radicaux sont concourants (trois cercles non alignés ), ils définissent un point appelé centre radical des cercles.

Quand les trois axes sont parallèles, c'est que les centres sont alignés et les cercles forment alors un faisceau de cercles.

Théorème de Johnson (1916) Si trois cercles de même rayon r sont concourants en un point P, alors leurs trois autres points d'intersection appartiennent à un cercle de même rayon r.

La démonstration peut se faire grâce à la géométrie dans l'espace en LE THÉORÈME DE PTOL ÉMÉE Claude Ptolémée {85-165} est un mathématicien, astronome et géographe grec.

Son livre phare, I'Aimageste aussi intitulé grande syntaxe mathématique contient l'ensemble des connaissances astronomiques de l'époque et va dominer l'astronomie jusqu'à Copernic (1543}.

Le théorème de Ptolémée permet de démontrer qu'un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle.

Cette propriété est vérifiée si et seulement si la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales.

Ainsi, si l'on considère un quadrilatère ABCD, alors on a l'égalité AB x CD+ BC x DA;AC x BD.

Ce théorème se démontre grâce au théorème des angles inscrit et des propriétés des triangles semblables.

Démonstration : Posons 1, un point de [Aq tel que les angles ABI et CBD soient égaux.

montrant que les points d'intersection des cercles et les centres des cercles forment sept sommets d'un cube et que le cercle passant par les points d'intersection est un cercle circonscrit à ce cube.

Son rayon est donc bien r aussi.

EQUATIONS ALGEBRIQUES DU CERCLE Le cercle peut être défini par plusieurs types d'équations .

Dans un repère orthonormé, on obtient l'équation cartésienne du cercle suivante : y; b ± v'[r'-(x-a }'] Cette équation est obtenue en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes .

Pour un cercle unité , cela donne x2 +yl = 1 Les équations paramétriques du cercle sont: x;a + rcos a y; b + rsin a Soit pour le cercle unité : x; cos a y;sina LE CERCLE, LA RÈGLE ET LE COMPAS C'est Euclide (IV'-111' siècle av.

J.-(.) qui fonde les bases de la géométrie qui prendra son nom sur un système d'axiomes .

11 pense ainsi qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné passant par un point donné.

C'est pourquoi la géométrie euclidienne est la géométrie des droites et des cercles et donc de la règle et du compas.

Pour Euclide, tout nombre peut être construit avec la règle et le compas.

C'est ainsi que l'on va ajouter aux nombres rationnels, une autre catégorie de nombres , constructibles, non rationnels mais résultat d'une équation algébrique, tels que v'2, la diagonale du carré.

On les appelera • Les angles BAC et BDC interceptent la même corde (Bq, ils sont donc égaux.

• De même BCA; BOA (arc BA).

• Les triangles CBD et IBA sont donc semblables et on vérifie donc CD/lA; BD/AB d'où (1} AB x CD; lA x BD • De même, les triangles ABD et IBC étant semblables , on obtient (2) ADxBC;ICxBD • En faisant la somme de (1) et (2), on a AB x CD + AD x BC ; lA x BD + IC x BD ce qui correspond à (lA + IC) x BD soit AC x BD, l'égalité de Ptolémée.

A D nom bres algébriques.

On montrera par la suite que l 'on peut même se passer de la règle pour construire tous les nombres rationnels et algébriques connus alors .

Jusqu'à ce que l'on comprenne que certains nombres ne sont ni rationnels, ni algébriques et donc non constructibles (voir quadrature du cercle).

La construction au compas seul a été étudiée notamment par l'italien Lorenzo Mascheroni .

Mais c'est à Napoléon l" que l 'on attribue l'un des problèmes les plus fameux : la construction du centre d'un cercle donné au compas seul.

LA QUADRATURE DU CERCLE La quadrature du cercle est l'un des grands problèmes mathématiques qui a traversé plusieurs siècles et plusieurs civilisations avant de trouver une réponse claire et démontrée .

Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné ou de même périmètre et ce à l'aide d'un compas et d'une règle.

Les premières trace s de ce problème date de -1650 av.

J.-C.

11 s'agit d'un texte égyptien, le Papyrus Rhind écrit par l e scribe Ahmès .

Les Grecs dont notamment Archimède s'attaquent ensuite au problème en pensant l'avo ir résolu, mais en fait ils ne font que trou ver de bonnes approximations.

Tout au long du développement des mathématiques occidentales, le problème reste sans solution.

De nombreux mathématiciens ont proposé des solutions, mais elles ont toujours été r éfutées par leurs collègues.

En 1837 , Pierre-Laurent Wantzel établit un théorème qui exprime la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas.

Mais , il faudra attendre l'allemand Ferdinand von Lindemann, en 1882 , pour l'appliquer à la quadrature du cercle et pour démontrer que ce problème est impossible à résoudre en raison de la transcendance de " · La transcendance d'un nombre est le fait qu'il ne soit pas algébrique.

Or on ne peut construire avec la règle et le compas que des nombres algébriques.. »