TPE SUR LES FONCTIONS (mathématiques)

« la notion de dérivée a été introduite en mathématique simultanément par Newton et Liebniz .

Elle permet d'étudier des propriétés locales de fonctions avec la tangente , et globales avec principalement les variations des fonctions .

On appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h (a et a+h deux éléments du domaine de définition de f) le rapport : , (x)_ f(x)- f(a) .

.

' x-a quelques fOIS aussi défini de manière équivalente par : (h) f(a + h)-f(a) ' ' - h .

la limite lorsque x tend vers a ou lorsque h tend vers 0 est appelée dérivée de f en a.

On note alors : l im f(x)- f(a) ~li rn f(a + h ) - f(a) _ f'(a) ·-• x -a h-o h la fonction fest dite dérivable à gauche .

lim f(x)-f(a) .

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en a SI ·-·- x-a ex1ste (est fi me).

la fonction fest dite dérivable à droite .

li rn f(x )- f (a) .

en a SI ·-·· x -a ex1ste .

la fonction f est dite dérivable en a si elle est dérivable à droite et à gauche et si ces deux limites sont égales .

Ainsi une fonction peut être dérivable à droite et à gauche d'un point sans être dérivable sur ce même point.

Par exemple , la fonction x>-> lx i possède une dérivée à droite en 0 qui vaut 1, et une à gauche qui vaut-\.

Cette fonction n'est donc pas dérivable en o.

fest dite dérivable sur un intervalle 1 si elle est dérivable en tout point de 1.

Interprétation cinématique Si '>-> f(t) est la fonction représentant la trajectoire d'un mobile au cours du , ,( t)-f (t)-f(t ,) temps, alors t - t, représente la valeur moyenne de la vitesse du mobile entre les instants tet lo-Plus tva tendre vers lo , plus lj(t) va se rapprocher de la valeur de la vitesse instantanée en to.

Interprétation graphique Si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe au point (a;f(a)) a pour équation: y= f'(a)(x-a)+f(a) f'(a) est le coefficient directeur de cette droite.

intervalle 1 est aussi continue sur cet intervalle.

Si sur un intervalle 1, f'(x) s 0, alors la fonction fest décrois sante sur L Si sur un intervalle 1, f '(x)"' 0, alors la fonction f est croissante sur 1.

Si la dérivée s'annule en un point a, alors a est un minimum ou maximum local de f.

On appelle dérivée n-ième d'une fonction, la fonction f dérivée n fois.

FONCTIONS CIRCULAIRES les fonctions circulaires sont les fonctions qui permettent la mesure des angles.

les trois principales sont les fonctions cosinus (cos) , sinus (sin) et tangente (tan).

Cosinus : C'est une fonction définie sur l'ensemble des réels , paire, périodique de période 2n et dérivable sur l'ensemble des réels.

lcos: IR -.IR XH f(x) cos( x)= cos( -x), et cos( x + 21 IR sm x XH -­COSX tan(-x) =-tan( x), et tan( x + 11)= tan( x) FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME Fondion exponentielle Elle est définie et dérivable sur l'ensem ble des réels .

lexp: IR-> IR , exp'( x)= exp( x) x t--t e" Logarithme népérien Il est défini et dérivable sur l'ensemb le des réels positifs.

lin: IR' ->IR , ln(e·') =x, a' = e'"' x t--t ln x Cosinus hyperbolique Cette fonction est définie et dérivable sur l'ensemble des réels, et paire.

lch :IR-> IR e • +e-• XH- -2 c h (x) = ch (-x), ch '(x)= sh (x) Sinus hyperbolique : Cette fonction est définie et dérivable sur l'ensemble des réels, et impaire .

lsh:IR->IR e • -e-• XH- -2 sh (- x) = -ch(x), s h '(x)= ch (x) Tangente hyperbolique : Cette fonction est définie et dérivable sur l'ensemble des réels, et impaire .

lth: IR-> IR s h (x ) , lh(- x)= - th(x), XH - ­ ch (x ) th(-x) =-th(x), th'(x ) = l +lh'(x ) =- 1 -ch'( x ) FONCTIONS RATIONNELLES Ce sont les fonctions du type : X l--ta" x"+ ..

+a 1x +a0 b m x m+ ..

+ b1x+b 0 avec (a,) " ''" e t (b ;). »