TPE SUR LA NOTION DE TRAJECTOIRE EN PHYSIQUE

« LA TRAJECTOIRE RECTILIGNE À VITESSE CONSTANTE Galilée (1564-1642) et Newton énoncent les lois fondamentales de la mécanique .

L'une d'elles concerne le mouvement et la trajectoire, et s'oppose aux anciennes conceptions.

En effet , elle dit que la trajectoire naturelle , non forcée , est la ligne droite sans changement de vitesse.

Autrement dit, si aucune force ne s'exerce sur un corps, la vitesse de ce dernier ne changera pas.

Si la vitesse ne change pas -ni en direction, ni en grandeur­ le mouvement sera « rectiligne uniforme »,l'immobilité étant un cas particulier de ce type de mouvement où la vitesse est en permanence nulle.

Ainsi, toute trajectoire non rectiligne ou rectiligne mais effectuée avec une vitesse qui change en grandeur implique l'action d'une force.

cible pourtant toujours dans sa ligne de mire.

Le tireur verra sa balle décrire une trajectoire courbée vers la droite, tandis qu'un observateur extérieur ne verra rien de tel.

Ainsi, la forme d'une trajectoire dépend du point de vue.

On peut transposer ce résultat à la Terre : comme cette dernière tourne sur elle même, les obus subissent une «déviation» vers l'est , dite de Coriolis, dont il faut tenir compte pour ne pas manquer la cible.

N'ayant pas tenu compte de cet effet, les obus tirés vers Paris le 21 mars 1918 par l'artillerie allemande depuis la forêt de Coucy à 120 km, chutent à 1.4 km à droite de leur cible.

TRAJECTOIRES OPTIMISÉES Certaines trajectoires sont choisies pour optimiser (minimiser ou maximiser) une grandeur .

Nous allons voir deux exemples de ce type : le cas de la trajectoire d'une fusée et celle qu'il faut suivre pour sauver une personne de la noyade .

Cas d'une fusée Lors des retransmissions télévisées des lancements de fusée pour mettre en orbite un satellite, on observe toujours une minimiser les frottements aérodynamiques et donc le coût.

D 'un autre côté , la mise en orbite d'un satellite nécessite de lui communiquer une vitesse horizontale .

Par conséquent, si la fusée transporte verticalement le satellite à l'altitude voulue, il faudra lui communiquer seulement alors une vitesse horizontale nécessaire à la satellisation (sans laquelle le satellite retomberait sur Terre).

Cette seconde phase de propulsion horizontale du satellite coûte cher.

On cherche donc à faire en sorte que lorsque le satellite arrive à l'altitude où il est libéré de la coiffe de la fusée, il possède la vitesse horizontale de satellisation.

Cela implique que la fusée atteigne cette altitude avec une composante horizontale .

Pourquoi alors le lancement n'est-il pas effectué obliquement? La raison est que l'atmosphère à basse altitude est dense : il faut donc minimiser l'épaisseur traversée.

Comme les pertes d'énergie par frottements croissent avec la vitesse, la phase de montée verticale en atmosphère dense s'effectue à vitesse relativement lente.

Puis, progressivement, la fusée se met à l'horizontale et accélère à mesure que la densité de l'air diminue .

phase de Cas d'un sauvetage montée bien Supposons qu'un sauveteurS sur la UNE TRAJECTOIRE RECTILIGNE MAIS verticale suivie plage cherche à secourir une personne couRBE d'une phase N de la noyade .

Si la ligne qui joint S à Si sur un manège en rotation, un franc quasi- N est perpendiculaire au rivage , S doit tireur situé au centre du manège tire horizontale .

suivre cette ligne pour secourir N.

Mais une balle vers une cible à la périphérie, Qu'est-ce qui quel trajet suivre dans le cas général? il ne fera pas mouche.

En effet, pendant détermine le Clairement, il faut minimiser le temps le voyage de la balle , le manège aura choix d 'une telle trajectoire? pour atteindre N.

Sachant que S court tourné et aura fait quitter la cible hors Grossièrement , cela relève d'un plus vite sur le sable qu'il nage, n'a-t-il de la trajectoire de la balle .

Si, vu d'en compromis , l'objectif principal pas intérêt à minimiser la distance de haut, le manège tourne dans le sens consistant à économiser le coût de nage? Dans ce cas, il faudra qu'il court inverse des aiguilles d'une montre , le l'opération .

Clairement, une trajectoire jusqu'au point C sur le rivage, tel que la tireur verra que sa balle a atteint un verticale permet de réduire l'épaisseur ligne CN soit perpendiculaire au point situé légèrement à droite de la de l'atmosphère traversée et donc de rivage; après quoi il nagera de Cà N .

~---....;;...

_______ ...~, ___ ..;..

________ --1 Mais en empruntant ce chemin , S Espace des phases d'un pendule amorti risque d'allonger trop sa course à pieds : le temps gagné en minimisant la distance de nage risque de ne pas compenser celui perdu par allongement de la course sur le sable.

Le point sur le rivage vers lequel il faut courir pour nager ensuite dépend en fait du rapport de la vitesse de nage sur la vitesse de course .

Plus ce rapport est petit , plus ce point sera proche de C ; plus ce rapport sera proche de 1 et plus la trajectoire suivie se rapprochera de la ligne droite qui joint S à N.

Dans le cas général, la trajectoire suivie sera « brisée », composée de deux segments .

Cette minimisation du temps est justement le principe qui gouverne le trajet que suit la lumière pour aller d'un point à un autre.

TRAJECTOIRES IMPRÉVISIBLES Alors que la trajectoire suivie par une balle est prévisible avec une extrême précision, certaines trajectoires ne le sont pas du tout , bien qu'elles soient gouvernées par des lois parfaitement connues.

On parle alors de « trajectoires chaotiques ».

lE PROBÙME DES TROIS CORPS La théorie de la gravitation de Newton appl iquée à deux corps de masses quelconque aboutit à des équations faciles à résoudre qui indiquent le mouvement relatif des deux corps et donc leur trajectoire .

Cependant , l'introduction d'un troisième corps amène généralement une complexité très grande : les équations ne sont plus solubles par les méthodes analyt iques connues et les trajectoires deviennent chaotiques.

Le système solaire est constitué de bien plus de trois corps : si son évolution à court terme est prévisible, l'incertitude sur la position des planètes croit très vite pour des durées longues atteignant quelques dizaines de milliers d'années.

Les systèmes chaotiques sont caractérisés par ce que l'on appelle une ultra­ sensibilité aux conditions initiales .

Cela signifie que deux situations extrêmement proches peuvent conduire à deux évolutions , deux trajectoires totalement différentes.

TRAJECTOIRE DANS L'ESPACE DES PHASES Prenons un pendule qui balance d'avant en arrière .

Son état à un instant donné est entièrement déterminé par la donnée de sa vitesse et de l'angle qu'il fait avec la verticale.

On peut porter sur un graphique (angle en abscisse, vitesse en ordonnée) les états successifs du pendule .

La courbe ainsi obtenue est une« trajectoire»; il s'agit cependant d'une trajectoire qui s 'effectue non dans l'espace habituel, mais dans ce que l'on appelle un «espace des phases» (en somme, l'espace des angles et des vitesses atteints) .

Pour un pendule amorti qui finit par s'arrêter , cette trajectoire dans l'espace des phases est une spirale s'achèvant au point de coordonnées (O ; 0) : angle nul, vitesse nulle.

Pourtant , le mouvement que l'on voit ne ressemble en rien à une spirale, puisque ce mouvement est vu dans notre espace à trois dimensions.

La trajectoire dans l'espace des phases de certains systèmes est chaotique .

TRAJECTOIRE ET PHYSIQUE QUANTIQUE En physique classique , un corpuscu le élémentaire comme un électron par exemple, obéit aux mêmes lois de la mécanique qu'une bille du monde macroscopique : son comportement n'en diffère pas fondamentalement.

Pourtant, un certain nombre de résultats expérimentaux obtenus aux débuts du XX' siècle ont montré qu'il n 'en était pas ainsi.

li a donc fallu mettre sur pied une nouvelle mécanique , la mécanique quantique, en mesure de rendre compte du caractère parfois typiquement ondulatoire du comportement de la matière subatomique , mais aussi du caractère parfois typiquement corpusculaire des ondes électromagnétiques, dont la lumière.

Ainsi , la mécanique quantique mêle subtil ement l'onde et le corpuscule classiques en une nouvelle entité, elle non classique, que certains physiciens appellent« quanton ».Contrairement à un corpuscule classique, caractérisé par une localisation spatiale précise, la position d'un quanton n'est pas parfa itement déterminée : elle est par natur e indéterminée.

Cela découle de l'intrusion des propriétés ondulatoires dans le monde des corpuscules.

En effet, par nature , une onde s'étend dans l'esp ace.

Dépouillée de son sens habituel et classique, la notion de posit ion, indéterminée en mécanique quan tique, devient incompatible avec celle de trajectoire .

La mécanique quan tique abandonne ainsi cette notion au profit d'un principe très fécond, le «principe d'indétermination de Heis enberg ».

Le philosophe grec Zénon d 'Eiée est connu pour plusieurs paradoxes qu'il a énoncés.

Nous allons nous intéresser au paradoxe de la flèche (qu'il ne faut pas confondre avec le paradoxe d'Achille et de la tortue).

Une flèche tirée en direction d'une cible parcourt une trajectoire que l'on peut considérer comme approximativement droite.

Zénon se demande comment cette trajectoire peut être parcourue .

En effet , avan t d 'atteindre la cible, la flèche doit pass er par le point situé à mi-chemin.

Et avant de passer par ce dernier, elle doit passer par celui qui est à mi chemin ...

et ainsi de suite .

Quelque soit le point de la trajectoire, il y en a une infinité qui le précèdent.

Aussi , avan t de passer par un quelconque poin t, la flèche doit passer un autre.

Quel est le premier point par lequel la flèch e doit passer? Il n'y en a pas, car tout point est précédé d'un autre .

Dans ces cond ition s, demande Zénon , comment le mouvement de la flèche est-il initié ? Comment la flèche arrive+ elle a parcourir une trajectoire ? Une question analogue d'un point de vue mathématique serait : quel nombre vient après zéro? Ce n'est pas 1, puisqu'il y a par exemple 0,5.

Ce n 'est pas 0,0001, puisqu'il y a 0,00000007 etc.

Ainsi , si l'on me demandait d'an noncer le nombre qui suit zéro, je sera i condamné à me taire à jamais .

De même, la flèche devrait être condamnée à demeurer à sa place et le mouvement de manière générale devrait être impossible .

Pourtant la flèche part et les choses bougent.

Comment résoudre ce paradoxe ? À ce jour, ce problème n'a pas reçu de réponse satisfaisante.

Clairement , le problème vient de la notion même de trajectoire continue.

Or, nous l'avons vu, la physique quantique a déclaré cette notion obsolète et non pertinente.

Il est alors tentant de se demander si ce « paradoxe » ne trouverait pas son origine dans notre croyance - à tort- en cette notion.

Pour lever le paradoxe de Zénon ne faudrait-il pas l'évacuer une bonne fois pour toute de notre pensée ? Certains physiciens et philosophes sont favorables à cette solution.

Les trajectoires ne sont peut­ être finalement que des illusions.. »