TPE: la notion de chaos en science

« dans ce cas, on parle de chaos.

La raison de cette ignorance trouve son origine dans le caractère intrinsèquement complexe du problème.

La SCI et la non solubilité des équations ont une origine commu ne : mathématiquement, cela se manifeste par ce que l'on appelle la" non linéarité des équations différentielles ».

Les outils mathématiques permettent de résoudre essentiellement les équations différentielles linéaires.

Dans le la ngage courant, la linéarité se traduit par la « proportionnalité des causes et des effets », ou par le fait que " le tout est la somme des parties ».

La non-linéarité exprime le contraire : la non proportionnalité des causes et des effets, et le fait que le tout n'est pas la somme des parties.

Cela, parce que, outre les parties, il y a ...

les interactions entre les parties.

Cela est typique d'un système dit complexe.

Signalons la distinction que l'on fait entre « compliqué » et« complexe ».

Tandis que dans le premier , un grand nombre de paramètres incontrôlables et inconnus interviennent et nous condamnent à l'ignorance, le second nous conduit à l'ignorance en ne faisant intervenir qu'un faible nombre de paramètres liés les uns aux autres, induisant une complexité.

Un système chaotique est un système complexe par nature : cette complexité se traduit par le caractère insoluble des équa tions et la sensibilité aux conditions initiales.

CHAOS DÉTERMINISTE ET CHAOS INDÉTERMINISTE On parle de chaos déterministe lorsque l'on a affaire à un système complexe mettant en jeu un faible nombre de paramètres que l'on peut facilement mettre en équations (exemp le des trois corps) mais que l'on ne sait pas résoudre.

Si le nombre de paramètres d'un système complexe devient très important, incontrôlable, on parle de chaos indéterministe (exemple de la météo).

Dans ce cas, la mise en équation se fait moyennant de nombreuses hypothèses simplificatrices.

IMPRÉVISIBILITÉ ET IMPRÉDICTIBILITÉ On réserve le terme imprédictible pour exprimer notre ignorance lorsqu 'elle résulte d'un chaos déterministe.

A insi, on dira que l'évolution du système formé de trois corps en interaction gravitationnelle est imprédictible.

En revanche, on dira que le temps qu'il fera dans quinze jours est imprévisible, de même que ce qu'affichera le dé ou encore les numéros qui sortiront au prochain tirage du LO,TO .

DEGRÉ DE LIBERTÉ On entend par " degré de liberté », le nombre minimum de paramètres qu'il faut spécifier pour décrire entièrement l'état d'un système.

L'état d'un pendule à un instant donné est entièrement déterminé par la donnée de l'angle que fait le pendule avec la verticale et sa vitesse pour cette position : le pendule est ainsi un système à 2 degrés de liberté.

Henri Poincaré montre qu'un système ne peut exhiber un comportement chaotique qu'à condition de posséder au moins 3 degrés de liberté .

Fixons au pendule précédent un deuxième pendule très léger, " couplé » au premier via des aimants orientés de manière répulsive, de sorte que l'oscillation du premier sollicite le mouvement du second par l'intermédiaire du couplage magnétique : le mouvement du second pendule est alors chaotique, totalement imprédictible .

ESPACE DES PHASES Si l'on porte sur un graphe à trois axes les valeurs que prennent au cours du temps les degrés de liberté d'un système chaotique à trois degrés, on obtient ce que l'on appelle la trajectoire dans" l'espace des phases» .

En raison de la SCI, deux états infiniment voisins dans l'espace des phases donneront deux trajectoires distinctes, au départ voisines, mais s'écartant très rapidement l'une de l'autre .

li existe des méthodes qui permettent de mesurer cette rapidité de la divergence.

Dans un système chaotique, on assiste à une divergence exponentielle des trajectoires.

ATTRACTEURS ORDINAIRES Si l'on écarte un pendule de la verticale et on l'abandonne à lui même, après Expérience des pendules couplés Les 3 paramètres sont : • 6 : angle que fait le pendule lourd avec la verticale • B : angle que fait le pendule léger avec la verticale ·v : vitesse du pendule léger Pour 2 conditions initiales très similaires, on obtient d es trajectoires très divergentes dans l'espace des phases.

e pendule lourd, oscille de manière régulière pendule léger, oscille de manière chaotique l'avoir poussé ou non, il finira par s'immobiliser en raison des frottements.

Sa trajectoire dans l'espace des phases (ang le, vitesse) sera une spirale qui converge vers un " point fixe», l'origine des coordonnées, indépendamment de l'angle initial et de la vitesse initiale.

Si avec une force extérieure on entretient le mouvement du pendule, cette trajectoire convergera vers un" cycle limite ».

Le temps qu'il faut alors au pend ule pour faire un aller-retour , pour parcourir son cycle dans l'espace des phases, dépend uniquement des frottements et de l'entretien.

Cela signifie que pour une force d'entretien et des frottements donnés, toutes les trajectoires -quelles que soient les conditions initiales - convergeront vers le même cycle limite .

Le « point fixe » et le « cycle limite » sont appelés des « attracteurs » : ils " attirent » vers eux les trajectoires engendrées à partir de conditions de lancement très diverses.

ATTRACTEURS ÉTRANGES pas nécessa irement entière : elle peut être de 2,2 ou 2,8, etc.

Signalons aussi qu'une même trajectoire passe une infinité de fois au voisinage de n'importe lequel de ses propres points, et suit à chaque fois une évolution différente.

Cependant, lorsqu e l'on regarde une trajectoire, cela ne donne pas l'impression de n 'importe quoi, puisqu'elle reste sur l'attracteur.

DÉSORDRE OU ORDRE ? Les structures fractales sont caractérisées par une autosimilarité quelle que soit l'échelle à laquelle on les observe.

Ainsi est l'attracteur étrange.

Loin de traduire le « chaos » au sens habituel du terme -synonyme de« n'importe quoi » -le caractère fractal de l'attracteur étrange révèle au contraire un ordre.

De ce point de vue, le chaos n'est pas le désordre.

C'est la raison pour laqu elle on parle souvent de « désordre apparent >> ou d'un" ordre sous jacent au désordre>>.

En effet, même si l'issue d'un processus chaotique est aussi imprédictible qu'est imprévisible celle d'un processus aléatoire, le chaos possède une signature d'ordre que ne poss ède pas l'aléatoire .

SECTION DE POINCARÉ Afin de mieux visualiser et étudier l'évolution d'une trajectoire dans un attracteur étrange, on réalise une coupe, une section de cette trajectoire .

Si l'espace des phases possède 3 dimensions, la " section de Poincaré >> permet de passer en deux dimensions et d'y voir plus clair .

EXEMPLES DE SYSTÈMES CHAOTIQUES Comme exemples de systèmes chao tiques, nous avons donné plus haut ceux des pendules couplés magnétiquement et des trois corps.

On peut trouver de très nombreu x autres systèmes qui évoluent de manière chaotique : les inver sions du champ magnétique terrestre, certaines réactions chimiques, le mouvement de certains sate llites planétaires , la bourse , la météo, les phénomènes turbulents, l'évolution de certaines populations, dans certains cas le rythme cardiaque, certains phénomène s physiologiques, le système solaire ...

Bien sûr, le chaos dans ces systèm es se révèle sur des échelles de temps très différentes , allant de la seconde à des échelles de plusieurs millions d'années.

Une chose importante dont il faut être conscient est qu'aprè s un engouement généra l pour l'étude du chaos et sa mise en évidence dans des systèmes très divers, on s'est souv ent rendu compte que ces études n'abo utissaient finalement pas à g rand chose d e pratique et utile .

C'est l'une des raiso ns pour lesquelles la lièvre des années 1980 -1990 pour le chaos s'est quelque peu apais ée.. »