Paradoxe des anniversaires

« Grand Oral — Support De Présentation CONTENU MATHÉMATIQUE : -Chapitre 3 : Dénombrement et combinatoire -Chapitre ? : Probabilités -Notions : équiprobabilité, évènements indépendants, principe de complémentarité d’événements, arrangement de k parmi n, produit cartésien (k-upplet), factorielle n!, principe des tiroirs PROBLÉMATIQUE : « Combien faudrait-il d’élèves au sein d’une classe pour qu’il y ait au moins 1 chance sur deux que 2 d’entres eux soient nés le même jour ? » INTRODUCTION : Imaginez que vous venez de débuter la rentrée, vous ouvrez Pronote et commencez à faire l’appel, alors que vous dé lez la liste de noms vous vous apercevez qu’il y’a deux gâteaux : « ohh ! deux de mes élèves fêtent leur anniversaire aujourd’hui !! » Et alors que vous envisagez de remplir une grille pour le prochain loto vous vous demandez quelle est la probabilité qu’une telle coïncidence se produise ? Les élèves surpris également stipulent : « cet événement est rare car il faudrait environ 180 personnes pour que cette coïncidence ait une probabilité de se réaliser de 50 pour-cent !!» Seulement, les apparences sont trompeuses et notre logique peut nous induire en erreur. Ce problème est connu sous le nom de paradoxe des anniversaires, et aujourd’hui je vais approfondir ce sujet a n de pouvoir répondre à notre questionnement : « Combien faudrait-il d’élèves au sein d’une classe pour qu’il y ait au moins 1 chance sur deux que 2 d’entres eux soient nés le même jour ? » Il faut savoir que j’ai choisi ce sujet car je porte une grande attention aux détails et aux résultats contre-intuitifs. Avant de commencer nous allons admettre pour notre étude qu’une année équivaut à 365 jours et on va numéroter les jours de 1 à 365.

Par exemple je suis né le 131ème jour c’est à dire le 11Mai. PLAN : Événement : « Deux élèves ont le même jour de naissance » I - Mise en situation : Dans une classe ayant 2 élèves présents ( n d’année) : 1- Nombre total de situation : k-upplet 365^2 2- Nombre de cas réalisant l’événement contraire (jours di érents) : 365 x 364 3- Nombre de cas véri ant notre événement : 365^2 - 365 x 364 = 365 (complémentarité des événements) 4- Résultat : 365 / 365^2 ~= 0,002739 soit 0,27% ff ff fi fi fi fi fi Dans une classe ayant 3 élèves présents (1 jour avant) : même méthode 1- Nombre total de situation : k-upplet 365^3 2- Nombre de cas réalisant l’événement contraire (jours di érents) : 365 x 364 x 363 3- Nombre de cas véri ant notre événement : 365^3 - 365 x 364 x 363 (complémentarité des événements) 4- Résultat : (365^3 - 365 x 364 x 363) / 365^3 ~= 0,008204 soit 0,82% II - Introduction d’un entier n : n représente le nombre d’élèves.... »