L'origine des nombres (Travaux Pratiques Encadrés)

« lement ordonné , et muni de l'addition, de la multiplication , de la soustraction et de la division.

LES NOMBRES COMPLEXES Il existe cependant certaines équations du second degré sans solution dans R.

Par exemple, x' =- 1.

On introduit alors le nombre i, solution de cette équation.

Les nombr e s comple xes ou imaginaires , dont l'ensemble est noté C, s'écrivent (a+bt ) où a et b sont deux réels: a est la partie réelle et bi la partie imaginaire .

On peut également les écrire re;' où r est un réel strictement positif appelé module et e un réel compris entre o et 21t, appelé argument.

Ils peuvent être re résentés dans un lan.

b ------ ----- z z=a+ib=rei9 a= r cos(9) b = r sin (9) r= va2+b2 1 a L'ensemble ainsi défini est muni de l'addition , de la multiplication , d e la soustraction et de la division mais n 'est plus ordonné .

Un nombre x qui vérifie a,X"+ ..

.

a ,x+a 0=0 avec des coefficients a0 , ...

, a , rationnels (dans Q ), est appelé algébrique .

Ainsi , v 2 ou i sont algé ­ briques .

C contient tous les nombres algébriques .

Cependant, il existe des comple xes et des réels qui ne le sont pas.

Ils sont alors appelés transcen ­ dants .

Par exemple , n ete sont transcendants .

LES AUTRES ENSEMBLES Les mathématic iens ont construit bien PARITt / DIVISIBILITt La première propriété d'un nombre est sa parité.

Un nombre e st pair lorsqu 'il est le double d 'un autre, sinon , il est impair.

Cette propriété est en fait un cas particulier d'une théorie plus vaste qui est à l'origine de la théorie des nombres : la d ivisibilité .

Un nombre n est divisibl e par un autre nombre m lorsqu 'il est le produit de ce dernier avec un troisième nombre : n=mp .

Le nombre m est alors un d iviseur den et n est un multiple de m .

PALINDROME Un nombre palindrome peut s'écrire indifféremment dans un sens ou dans un autre .

Par e xemple 12521 est un nombre palindrome.

Cette propriété dépend évidemment de la base dans laquelle o n travaille.

Ainsi, 21 n 'est pas un palindrome en base dix, mais l'est en base 2 (Il s 'écrit alors 10101 ) ! NOMBRES PARFAITS, NOMBRES AMIABLES Un nombre est parfait s'il e st égal au double de la somme de se s diviseur s.

Ainsi, 6 est parfait.

En effet, les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, et 6 ; et 2x6 = 1+2+3+6 .

Vous pouvez montrer que 28 est également un nombre parfait ! Si la somme des diviseur s d'un nombre n est supérieure à 2n, on dit qu'il est abondant.

Si cette somme e st égale à 2n + 1 , il e st quasi-parfait.

On sait qu'il e xiste une infinité de nombres abondants (par exemple 12, 18, 20).

Cependant, on ne sait pas s'il e xiste des nombres quasi-parfaits .

Dans le même e sprit, deux nombre s sont amiables si chacun est la moiti é de la somme des diviseurs de l'autre .

Les grecs ne connaissaient que les deux plus petits nombres amiable s : 220 et 284.

Fermat avait découvert le couple 17296 et 18416 , et Descartes le couple 9 437 056 et 9 363 584.

On a trouvé par ordinateur 42 couples de nombres amiable s inférieurs à 10000000 .

d 'autres ensemble s de nombres que LEs NOMBRES PREMIERS ceux décr its ci-dessus.

Ce sont d'autres Un nombre est premier lorsqu 'il n'e st extensions comme les quaternions , les pas le produit de deux nombres plus o ct avion s, les entie rs de Gau ss, les p e tits.

C' es t- à -dir e qu e ses seuls divi- nombre s p-adiqu es.

Il existe aussi seurs sont 1 et lui-m ê me.

Les nombre s d ' autre s structures de nombre s comme premiers sont les nombres entiers les les corps finis où l'addition est plus importants en arithmétique .

Tout particulière.

C'est le cas par exemple s i nombre se décompose en un produit l'on considère uniqu ement les nombre s de nombres premiers.

On sait qu'il en 0 et 1.

On pose alors 1 + 1 =O.

C'est le e xiste une infinit é mais leur apparition corp s à deux éléments .

Si on applique dans la suite des nombres entier s inférieurs n est à peu près njlog(n) et le n-ième nombre premier e st approxi­ mativement nlog (n ).

Le plus grand connu à ce jour est (2"''"" -1 ).

Il possède 6 320 430 chiffre s e t a été découvert le 17 novembre 2003 par Michael Shafer .

Pour trouver simple­ ment les nombre s premiers inférieurs à un certain entier n, on utilise le crible d 'Eratosthène.

On écrit la liste des entiers de 2 à n.

On barre ensuite les multiple s des entiers rencontrés dans l'ordre croissant.

Il suffit d 'aller jusqu 'à -ln.

Deux nombres premiers sont d its jumeaux si leur différence est égale à 2 .

On ne sait pas s'il y a une infinité de nombres premier s jume a ux.

LA THtORIE DES NOMBRES L'étude des nombre s entiers et les équations diophantiennes (c'est-à-dire à plusieurs inconnues dont les coefficients sont entiers ) sont à l'origine de la théorie des nombres .

Un des problème s les plus célèbres de cette branche des mathématiques est le théorème de Fermat -Wiles démontré en 1994 par Andrew Wiles.

Il est à noter que si l'énoncé de ce problème est très simple, de nombreux mathématicien s ont cherché en vain à le démontrer depuis sa formulation en 1641 par Piel'l'e de FermDf .

Par ailleurs , la démonstration présentée par Wiles , qui n 'est comprise dans sa totalité que par une poignée de mathématiciens utilise un rappro­ chement des formes modulaire s et des courbes elliptiques .

De manière générale , il n'est pas rare que des problèmes très simplement énoncés soient résolus en utilisant de nombreux domaines des mathémat iques de l'algèbre à l'analyse , en passant par les fonctions comple xes à variable comple xe, les probabilités , la géométrie algébrique, etc.

.

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• Énonc é du théo rè m e de Fe rmat ­ Wile s : il n'existe pas de solution autre que x= 0, y=O , z =O à l'équation X"+ Y'=Z" dès que n est supérieur à 2.

LES NOMBRES CÉLÈBRES d'un ce«le à lo longueur de son diamètre ne dépend pas du cercle choisi ! Ce rapport constant a été p =1td nommé n, première lettre du mot «périmètre » en Grec.

Il intervient dans le calcul de l'aire d 'un cercle , ainsi que dans celui de la surface et du volume de la sphère .

Mais son influence ne s'arrête pas à la géométrie .

Il intervient dans de très nombreuses formules de l'analyse et de la théorie des nombres.

Le mathématicien grec Archimède (287 -212 av.

J.-C) savait déjà donner un encadrement den grâce à une méthode que l'on appelle maintenant l 'algorithme d 'A«himède .

Il s'agit de formules de récur ­ rence permettant de calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un même cercle .

On double le nombre de côtés des polygones à chaque itération.

Depu i s l'invention de l 'ordinateur , on a considérablement progressé dans la connaissance de rr.

En 2002 , on en connaissa it 1 241 milliards de décimales .

On ne pourra pourtant jamais connaître la valeur exacte de ce nombre .

En effet , Lambert a montré en 1760 que n e st irrationnel.

Il ne peut donc s'écrire comme le quotient de deux nombre s entier s .

De plus , n est transcendant.

Cette propriété d émontrée en 1882 par le mathématicien F.

Lindemann (1852- 1939 ) e ntr a îne l'impo ssibilit é de la quadrature du cercle .

Ce problème qui a occupé les mathématiciens depuis 1 800 av.

J.-C.

s'énonce ainsi :«Est - il possible de construire , à la règle et au compas un carré qui ait la même aire qu'un cercle donn é ? » la correspondance 1 =Vrai et O=Fau x, semble aléatoire et il n'existe aucune n = 3,141592653...

Quelques formules: les tables de la multiplication et de méthode pour en construire .

Pourtant n est certainement le nombre le plus • e"'+ 1 =0 (formule d'Euler ) l ' addition sont respectivement les ils obéissent à certaine s lois très célèbre et le plus étudi é que l 'homme a • 1 + 1 /2 '+ 1/3 '+ 1 /4 '+ ...

+ 1/n '+ . ..

= rr'/6 opérateurs logiques ET et XOR (ou précises .

Par exemple , pour un entier n découvert .

li provient de l'observation (~(2)) exclu sif).

Enfin , on peut utiliser des donné, la quantité de nombre premiers que le rapport de lo ci«onférence • n/ 4 = 1 -1/3 + 1/5-1/ 7 + 1/9 + ...

extensions de la notion de nombre : ~-----------...o.--------------1 (Formule de Leibniz ) l'ordinal et le cardinal.

Ces deux notions prennent en compte l '« infini ».

LA THÉORIE OES NOMBRES Pourquoi les hommes ont-ils inventé les nombres? Pour compter ! Pour compter tout et n 'importe quoi : des moutons , de l'argent, les grains de sable sur une plage , les gouttes d 'eau dans l'océan .

Pour effectuer de tels décomptes, il est vite apparu que l'on disposait d'opérations élémentaires (addition , multiplication, soustraction , division) .

La théorie des nombres est née de l'étude de ces opérations et de leurs relations avec les nombres entier s.

Crible d'ÉRATOSTHÈNE LE NOMBRE D'OR. »