Les équations du second degré (Travaux Pratiques Encadrés - Espaces pédagogiques interactifs)

« Justification graphique de la résolution d'Al-Khwarizmi --1- _1_ ~ ==== =x== == ~._;- 1: S=x x Yr-+------------+~ On résout l'équa tion x' + 4x = 45 Aire du carré pointi llé =x' + 4x + 4 = (x + 2}'; l'aire grisée doit être égale à 45 donc l'aire du carré pointillé est égale à 49, soit 72 • On a donc (x+ 2}' = 7'; on obtient x = s équations du second degré en donnant les relations entre coefficients (le terme est de lui) et racines qui sont celles que l'on apprend aujourd'hui au lycée .

La notation de Viète sera reprise et simplifiée par Harriet et Albert de Girard, mathématiciens de la première moitié du XVI~ siècle.

Enfin, D escarte s va lui donner la forme que l'on connaît actuellement.

En particulier, les inconnues ne sont plus les voyelles mais les dernières lettres de l'alphabet (x, y, z) et les coefficients sont les courbe coupe l'axe des abscisses en un unique point ; soit deux solutions complexes -lorsque la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses .

On remarque que lorsque l'on est en présence de racines complexes, celles-ci sont liées entre elles (on dit que ce sont des« complexes conjugués»), permettant ainsi de faire « disparaître » les nombres imaginaires lorsqu'on les réinsère dans l'équation .

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ connu un développement extrêmement rapide.

A insi, leur force d'intervention dans les autres domaines de la science est de plus en plus grande et plus particulièrement dans la physique .

Les scientifiques -en particulier René Descartes -sont de plus en plus convaincus que les phénomènes physiques sont régis par des lois mathématiques invariables .

Beaucoup de ces lois vont introduire des équations du second degré dans la modélisation des phénomènes physiques .

La mécanique est un très bon exemple de l'utilisation des équations du second La résolution des équations du second degré.

Elles servent par exemple à degré est maintenant complètement décrire la trajectoire d'un projectile connue et la méthode est la même sous l'effet de la pesanteur .

Leur pour toutes .

maîtrise est donc primordiale pour faire • À partir d'une équation de la forme de la balistique par exemple .

ax' + bx + c = 0, on commence par L'équation de la trajectoire d'un extraire le discriminent 1!.

par la formule projectile est : 1!.

= /Jl- 4ac.

y= -(g/ 4 x Vo/,')X2+(Vov/VotJX+Yo • Si 1!.

est strictement positif, l'équation Dans cette équation, v Oh et V av a deux solutions réelles : représentent les vitesses horizontales et 1------ -------,r------------ -i premières (a, b, c).

On retrouve alors x1 = (-b + ll!.}/2a verticales au moment où le projectile considération de l'équation en tant qu'entité mathématique à part entière.

Les Grecs ne voyaient les équations que comme une relation existant entre des grandeurs concrètes distinctes .

Il établit ainsi la première théorie- incomplète -de résolution des équations du second degré.

Cette théorie se limite à la considération des racines positives et à six types d'équations définies par Al­ Khwarizmi.

Il introduit cependant les conditions d'existence des racines et introduit la notion de racine double, ce qui constitue une avancée considérable.

Al-Khwarizmi n'est cependant pas complètement détaché de la géométrie puisqu'il démontre certaines de ses solutions en utilisant des procédés géométriques semblables à ceux utilisés par Euclide.

La résolution avec la notation actuelle d'une équation telle que x' + 4x = 45 se décompose en cinq étapes : • on transforme l'expression de la manière suivante : x' + 4x + 4-4 =45; • on effectue une opération a/-jabr pour obtenir x2 + 4x + 4 = 49; • on effectue une factorisation : (x+2) '= 7' ; • on prend la racine (Al-Khwarizmi ne considère que les racines positives) : X+2=7; • on effectue une opération a/­ muqabala pour obtenir une solution : X=5.

Son travail est poursuivi par Abu Kamil, originaire d'Égypte, qui pousse l'abstraction encore plus loin, ce qui lui permet de compléter sur certains points la théorie de son prédécesseur.

Le travail de ces deux précurseurs va être repris par de nombreux savants qui vont compléter la théorie des équations du second degré.

Ainsi, on apprend qu'une équation du second degré peut avoir zéro, une (racine double) ou deux racines en fonction d'une quantité que l'on appelle discriminant.

On peut traduire ce résultat géométriquement en traçant la courbe représentative de l'équation, les racines étant les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

LE SYMB OLISME ALGtBRIQUE Comme on l'a vu, les mathématiques ont été pendant très longtemps exprimées de manière rhétorique uniquement.

De nombreuses tentatives ont été faites pour simplifier les notations et les calculs .

Cependant chaque mathématicien avait son propre système de notation et cela ne simplifiait donc pas la compréhension et la communication du savoir.

Même le développement de l'algèbre chez les arabes se fera uniquement de manière rhétorique.

On note cependant une poussée vers la notation symbolique avec l'utilisation de tableaux dès le x~ siècle par AI-Samaw 'al puis chez Sharaf Al-Din AI-Tusi qui permet de manier les polynômes dans les algorithmes.

L'usage de lettres n'apparaît qu'au début du XVI' siècle chez Maurolico, dit Francesco de Messina, qui en fait usage en algèbre , mais sans calculer avec elles .

L'innovation importante alors apportée est l'utilisation d 'une notation spécifique pour désigner les inconnues : les lettres capitales.

La manipulation d'expressions algébriques dont les inconnues sont des lettres devient de plus en plus familière durant le XVI' siècle .

Mais la transformation la plus importante dans la manière de faire des mathématiques viendra de FrDDfOis Viète (1540-1603), plus analytique dans lequel il introduit et met en pratique sa méthode de représentation littérale.

L'atout de l'œuvre de Viète est qu'il représente par des lettres les inconnues (il leur réserve les voyelles), mais aussi les grandeurs connues mais indéterminées (il leur réserve les consonnes) .

Cela lui permet de généraliser les résolutions et ainsi, regrouper en une unique étude une infinité de problèmes.

La dernière proposition du traité de Viète complète la théorie des équations et en particulier finalise celle des l'écriture de l'équation telle que nous la connaissons : ax' + bx + c =O.

x2 = (-b- l!!.}/2a est lancé ; y0 représente la hauteur à • Si 1!.

est nul, l'équation a une racine partir de laquelle est lancé le projectile ; double : g représente la pesanteur.

En étudiant LEs NOMBR ES COMP LEXES x= -b/2a cette équation du second degré, on Durant la même période, une ·Si 1!.

est strictement négatif, il n'existe peut calculer le point d'impact au sol découverte cruciale va être faite, pas de solutions dans les nombres réels du projectile -et donc la portée du tir permettant à l'algèbre et la théorie des mais deux solutions dans les nombres -en déterminant les racines.

On peut équations de faire des avancées complexes : ainsi calculer que l'on atteint la portée fondamentales .

Cette découverte, ce x1 = (-b + i l-1!.)/2a maximale lorsque l'objet est lancé à 45° sont les nombres complexes.

Cette fois, x2 =(-b-i l-1!.)/2a (v av= v011 = v0 ), cette portée étant égale c'est au tour des mathématiciens I-EX_E_M_P_L_E_D_E_R~É ,.-S-O-LUT_I_O_N_D_ 'U_N_E---1 à 4 'Vo'/g .

italiens de s'illustrer durant le XVI' siècle .

ÉQUATION DU SECOND DEGR É On les retrouve aussi , par Jérôme Cardan (ou Cardano), médecin l'intermédiaire des sections coniques , réputé et habile mathématicien sera le Soit l'équation 3x2 +lx+ 2 =o.

pour décrire le mouvement des premier à introduire et utiliser les • calcul du discriminant 1!.: planètes.

C'est Johann Kepler (1571- racines carrées des nombres négatifs.

1!.

= 7'- 4(3, 2) = 49-24 = 25 1630) qui le premier introduira les Son travail ne porte que sur des Le discriminant est positif, l'équation coniques en astronomie .

équations particulières à coefficients admet donc deux solutions.

Le système de Kepler décrit le numériques.

Néanmoins, l'introduction • Calcul des racines de l'équation : mouvement des planètes sous forme de de ces« racines moins pures», telle x1 = (-7 + 125) / (2, 3) = -1/3 lois mathématiques simples qu'il a qu'il les appelle, permet de trouver des x2 = (-7- 125)/(2, 3} =-2 établies empiriquement à partir de ses racines aux équations du second degré • On peut ensuite vérifier que -1/3 et observations astronomiques et de celles qui n'en possédaient alors aucune.

- 2 sont bien les solutions de de Tycho Brahé .

La première des lois de Cette notion est loin de faire l'équation : Kepler (il y en a trois) dit que la l'unanimité au sein de la communauté 3, (-1/3)' + 7, (-1/3) + 2 = 0 trajectoire de chaque planète décrit une scientifique et les mathématiciens 3 , (-2)' + 7, (-2) + 2 = o ellipse dont l'un des foyers est occupé l'utilisent avec grande précaution .

par le Soleil.

La notion de nombre complexe sera Cette théorie sera renforcée plus tard développée et affinée par ses par l'étude de la trajectoire des corps compatriotes italiens et durant les célestes e t plus généralement par siècles suivant par les plus grands l'étude d'interactions entre deux corps mathématiciens tels que Gauss, Euler, pesants (le Soleil et une planète par Laplace et bien d'autres .

On utilisera On a vu que l'évolution et la découverte exemple) .

Cette théorie montrera que successivement la notation V-1 puis i de la résolution des équations du deux corps pesants interagissant l'un (pour imaginaire, mettant ainsi bien en second degré se sont d 'abord faites avec l'autre décrivent des trajectoires valeur le caractère virtuel de tels dans le but de résoudre des problèmes qui sont des sections coniques (ellipse, nombres) .

concrets.

Depuis l'aboutissement de parabole ou hyperbole selon les Les nombres complexes ont une l'algèbre symbolique de Viète, elles ont paramètres).

importance capitale en algèbre .

lis vont 1------------...:.------------ -i permettre d'énoncer le théorème fondamental de l'algèbre.

Ce théorème affirme qu'une équation de degré n possède n racines si l'on considère les nombres complexes -et donc une équation du second degré en possède deux.

La théorie des équations du second degré est maintenant complète et n'est plus qu'en fait un cas particulier de la théorie générale des polynômes .

Une équation du second degré possède donc, en fonction du discriminant calculé à partir des coefficients : soit deux solutions réelles (par opposition aux nombres complexes) -lorsque la courbe représentative coupe l 'axe des abscisses en deux points distincts ; soit une racine double réelle -lorsque la Yo o.s - 1 Trajectoire d'un proj ectile 0.2 0.4 0.6 0.8. »