Les équations du premier degré (Travaux Pratiques Encadrés - Espaces pédagogiques interactifs)

« et du côté droit : 15/5 = 5 On en déduit donc : x=5 le volume de chaque bille du sac est donc de 5 cm'.

CAs G tNtRAL les mathématiciens aiment bien étudier les objets mathématiques sous leur forme la plus générale possible.

Cela leur permet de découvrir l'ensemble de leurs propriétés, propriétés qui n'ont p lus qu'à être ensuite appliquées aux cas particuliers qu'ils rencontrent.

la forme générale des équations du premier degré est la suivante : a x + b= O x est l'inconnue que l'on cherche à déterminer, et a et b sont deux paramètres.

Notons que a doit être non nul, car si a = 0, ax est aussi nul (O multiplié par n'importe quel nombre fait toujours 0), et x n'apparaît plus dans l'équation.

Précisons que a et b n'ont pas le statut d'inconnues : ce sont des données du problème, connues à l'avance.

On cherche à déterminer x en fonction de ces paramètres .

les équations du premier degré que nous avons vues jusqu'à présent se mettent-elles bien sous cette forme? (E) s'écrivait : 5x + 10 = 3 5 Appliquons la propriété « 2 », et retranchons 35 de chaque côté du signe « = >>.

On en déduit : 5X ·15 = 0 (E) peut donc prendre la forme (F) avec a =5 et b =-25.

De façon plus directe, l'équation 2x + 3 = 0 est immédiatement de la forme (F).

avec a = 2 et b = 3.

(F) peut être résolue de façon générale, toujours en utilisant les propriétés vues plus haut.

Avec la propriété« 2 >>(en soustrayant b de part et d'autre du signe«=») , on peut écrire : ax=- b On peut ensuite utiliser la propriété « 4 >> et diviser par a de part et d'autre, car nous avons vu que a est non nul dans les équations du premier degré : x= · b/a la solution de l'équation du premier degré ax + b = 0 est donc x= -b f a.

Applications Utilisons les formules ci-dessus pour résoudre quelques équations.

5 X + 10 = 35 (E ) Nous avons vu ci-dessus que l'équation (E) pouvait se mettre sous la forme 5x -25 = 0 et que, dans les notations ci­ dessus, cela conduisait à : a = 5, b = -25 ; la seule solution est donc : x=-(- 15)/5 = 5 On retrouve donc bien le résultat déjà trouvé par ailleurs .

lx+ 3= o Dans les notat ions ci-dessus, on a : a = 2, b = 3.

La seule solution est : x= ·l/1= ·1.5 6=3x Pour se ramener à la forme générale , il faut utiliser la propriété « 1 » , pour réécrire l'équation sous la forme: ·3X + 6 =0 On a donc a= -3 et b = 6, et la seule solution est : x= ·6/(·3 )= 6/3 = 1 ÉQUATIONS À PLUSIEURS INCONNUES UN E {QUATION, DEUX INCON NUES les équations du premier degré que nous avons vues jusqu'à présent comportaient une seule inconnue : x.

Mais une équation du premier degré peut comporter plusieurs inconnues .

L:équation suivante , par exemple , a deux inconnues x et y : x+ y= 6 (G ) Dans ce paragraphe, nous allons donner un rapide aperçu de ce que peuvent être les équations à plusieurs inconnues, ainsi que des systèmes d'équations .

Ainsi, nous n'allons pas présenter une théorie générale , mais nous contenterons d'exploiter quelques exemples .

Tout d'abord, à quoi sert une équation à plusieurs inconnues? Considérons le problème suivant : prenons une bande de papier longue de 6 cm, coupons-là en deux , à un endroit quelconque (pas forcément au milieu).

Quelles seront les tailles possibles des deux morceaux de papier restant? Notons x la longueur du premier morceau, et y celle du second.

La somme des longueurs des deux bandes doit être égale à celle de la bande initiale , ce qui, en termes mathématiques .

conduit à l'équation (G) ci-dessus .

R tsoLunoN Quelle(s) solution(s) à ce problème? Si on reprend les méthodes exposées plus haut , on voit qu'on peut réécrire (G) sous la forme : x=&· y (G 1 Ainsi , à chaque valeur de y est associée Représentations schématique et graphique des solutions du système d'équations (Ci) et (H) { x+y = & (G ) x =ly (H) L:équation x+ y= 6 a pour solution une infinité de couples (x,y) dont: les coordonnées du point P, x= 4 et y= 2 représentent le couple solution y du système : En revanche, un seul couple (x, y) est solution du système d'équations.

Il s'agit de x= 4 et y= 2: une valeur unique de x fournie par cette relation.

Mais rien ne vient contraindre les valeurs que peut prendre y.

L:équation (G) possède donc une infinité de solutions , sous la forme d 'une infinité de couples (x, y).

Notons cependant que, si les couples solution sont en nombre infini, ils ne sont pas quelconques.

Par exemple, x= 2 et y= 2 n'est pas une solution .

On peut choisir y de façon quelconque , mais x va être donné par la relation (G} En revenant à notre problème de bande de papier, cette infinité de solutions correspond au fait que l'on peut couper la bande à n'importe quel endroit , en une infinité d'emplacements , fournissant une infinité de paires de morceaux.

SvsrtMES o'tQUATION S Supposons maintenant que, lors de notre découpage, nous imposions une contrainte supplémentaire :qu'un des morceaux soit deux fois plus grand que l'autre .

Ceci peut s'écrire : x=ly (H ) Quelles sont les tailles possibles des morceaux résultants? Nous sommes maintenant amenés à résoudre l'équation (H), mais l'équation (G) doit également être vérifiée .

Nous devons donc résoudre (G) et (H) en même temps .

lorsque l'on résout ainsi plusieurs équations simultanémen~ on x = 4, y = l En d'autres termes , la seule façon de couper la bande de papier de 6 cm en deux morceaux dont l'un est deux fois plus long que l'autre est de former un morceau de 4 cm et un morceau de 2Cm .

Pour conclure ce survol de la théorie des équations à plusieurs inconnues, on peut résumer le nombre de solutions (dans le cas général) que l'on a trouvé à un ensemble d'équations en fonction du nombre d'inconnues : - une équation à une inconnue a une solution; -une équation à deux inconnues a une infinité de solutions ; - un système de deux équations à deux inconnues a une solution.

(OORDO N N t ES CARrt SIENNE S Nous allons ici donner un aperçu de ce que peut apporter la représentation graphique à la résolution d'équations .

en nous contentant , là encore, de quelques exemples.

axe vertical.

Cela fonctionne exactement comme sur une carte .

Un point est repéré par son abscisse (la coordonnée sur l'axe horizontal) et son ordonnée (sur l'axe vertical) .

REPR {SENTATION DES SOLUTION S D E (G ) Considérons maintenant l'équation (G) que nous avons vue plus haut : x + y = 6 (G).

Nous avons trouvé que cette équation possède une infinité de couples solution (x, y).

Plaçon s toutes ces solutions sur notre système d'axes , avec la convention suivante : x fournira l'abscisse , et y l'ordonnée de chaque point.

Il est évidemment impossible de représenter une infinité de points .

Aussi allons-nous utiliser (mais sans le démontrer) , avec toutes les conventions définies ci-dessus , le résultat suivant : « l'ensemble des solutions d'une équation du premier degré forme une droite » ou, autrement di~ « une équation du premier degré est l 'équation d 'une droite >>.

1------------....J'------------- -l dit que l'on résout un système Au XVII' siècle, un savant français , Ren é Descartes , met au point la Il devient alors beaucoup plus simple de représenter l'ensemble des solutions de (G).II suffit d'en placer deux , quelconques , et de tracer la droite qui passe par ces deux points.

Pour notre premier point Pl, choisissons, de façon arbitraire, x= O.

Il vient alors de (G) : y= 6.

Pour notre deuxième point P2, choisissons, toujours arbitrairemen~ y= o.

Il vient : x= 6 .

Ces deux points ont été reportés sur le graphique , ainsi que sur la droite Dl passant par ces deux points, qui représente donc l'ensemble des solutions de (G).

Exemples de couples solution de l'équation x + y = 6 X=6;y= O X=4;y=2 X=3;y=3 X=2;y=4 x=O;y=6 d 'équations , généralement noté avec une acco lade : { x + y= 6 (G ) X= ly (H ) Comment peut-on résoudre ce système d'équations? On peut exprimer x en fonction de y à partir de la deuxième équation x= 2y, et le reporter dans la première: ly +y= 6 Ce qui, en utilisant les propriétés énoncées plus hau~ conduit à : { 3y= 6 y = l Pour en déduire x, on peut alors reporter cette valeur de y dans la deuxième équation : { x= l xl x= 4 la solution de notre système d' équllfions est donc : géométrie analytique , qui permet de représenter des objets géométriques (droites , cercles , etc.) à l'aide d'équations.

Pour cela, il invente ce que l'on appellera plus tard les coordonnées cartésiennes.

Ce système permet de repérer la position des points composant nos objets géométriques grâce à des coordonnées , c ' est-à-dire des chiffres, qui les positionnent par rapport à des axes de référence .

Comment ce système d 'axes fonctionne-t-il ? Pour repérer la position d'un point sur une droite , il suffit de graduer cette droite , et de repérer à quelle graduation se situe le point.

Cette graduation est sa coordonnée .

Si on veut repérer un point sur un plan , il faut deux axes : un axe horizontal, et un SOLUTION D 'UN SYsrtM E D 'tQUATIONS On peut de même étudier le système d'équations formé par les équations (G) et (H).

Pour cela, sur le même graphique , on représente : -Dl, droite des solutions de (G) ; -D2, droite des solutions de (H).

Comment trouve-t -on la solution du système d'équations? C'est une solution de l'équation (G), donc elle se trouve sur Dl ; mais c'est également une solution de l'équation (H), donc elle se trouve aussi sur D2.

la solution se trouve donc à l'intersection des droites Dl et D2.

C'est le point P qui a pour coordonnées (4,2), c'est à dire, x= 4 et y= 2.. »