grand oral math sur les embouteillages

« Grand oral mathématiques : "Les mathématiques peuvent-elles résoudre les embouteillages?" Introduction: Les embouteillages sont un problème récurrent dans les grandes villes et provoquent des pertes de temps considérables pour les conducteurs et des émissions de gaz à effet de serre néfastes pour l'environnement. Nous allons nous baser sur un exemple précis qui est une route droite comportant une seule et même voie.

On doit prendre en compte le flux de voiture par seconde, la densité en voiture donc en voiture par mètre et à l’abscisse sur la route, cela correspond à la distance entre un point et une origine arbitraire sur notre route. grandeurs noms unités Position X m Temps t s Voitures N voitures Vitesse v m.s^-1 Densité ρ Voitures.m^-1 Flux f Voitures.s^-1 L’équation Cette égalité est la représentation discrète de l’équation aux dérivées partielles (la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, ): la somme de la dérivée partielle de la densité par rapport au temps et de la dérivée partielle du flux par rapport à la distance est nulle. Cette équation est à la base de l’étude car les fonctions qui la vérifieront seront caractéristiques de notre trafic et car elle nous montre bien l’existence d’un lien entre le flux et la densité.

Ce lien est la modélisation que l’on recherche.

Ce sont les trois mathématiciens, Lighthill Witham et Richards qui nous fournissent ce modèle, c’est le modèle LWR : Le flux étant égal à la vitesse maximale fois la densité fois un moins la densité divisée par la densité maximale. Maintenant qu’on a un modèle, il va falloir le valider.

Pour cela, j’ai fait une série de mesures de flux et de densité sur la route, et en reportant les résultats que j’ai obtenus sur le graphique LWR on obtient des résultats assez satisfaisant qui vont nous permettre d’utiliser ce modèle. On va donc pouvoir résoudre notre équation aux dérivées partielles.

Alors pour la résoudre numériquement on va appliquer une méthode des différences finies en cherchant par approximation les dérivées à des taux d’accroissement.

On va simplement s’intéresser aux résultats.

Donc quand on résout cette équation on obtient des solutions qui possèdent des droites spatiotemporelles sur lesquelles elles sont constantes. Les ondes cinématiques Ces droites sont la représentation d’ondes cinétiques qui vont parcourir le trafic, ces ondes vous les connaissez.

Je prends un exemple, imaginez qui vous roulez dans un trafic dense, mais fluide, donc y a du monde, mais on de ne se gène pas, et à un instant, une voiture pile puis redémarre.

Bon, la voiture qui la suit va devoir freiner brusquement elle aussi, celle d’après aussi et ainsi de suite.

Et alors qu’il n’y aura plus aucune raison, la voiture source.... »