grand oral: Le Rubik's Cube, c'est quoi ? Un jouet, un casse-tête, ou un objet mathématique ??

« Le Rubik's Cube, c'est quoi ? Un jouet, un casse-tête, ou un objet mathématique ?? 1)Qu’est-ce que le Rubik’s cube et qu’a-t-il de spécial ? 2) Décomposition grâce aux permutations ? 3) Finalement, quel est le nombre de combinaison du Rubik’s cube ? 1) A première vue, c'est simplement un cube de 56 mm de côté, formé de 27 de cubes colorés.

A chacune des faces, on peut faire subir une rotation, mélanger ainsi en quelques secondes et obtenir des faces de toutes les couleurs.

Lui et ses 43 milliards de milliards de combinaisons ont de quoi vous faire passer le temps ! L'objet est un cube de plastique tout simple ; 6 faces, 9 carrés de couleur sur chaque face ; tous les carrés peuvent changer de position, à l'exception de ceux qui occupent le centre de chaque face.

Au départ, chaque face est unicolore.

Mais attention ! Il suffit de quelques rotations effectuées au hasard sur les faces pour transformer cet ordre en un mélange de couleur.

Le but du jeu étant, bien sûr, de rétablir l'ordre initial.

L'inventeur de ce cube est Ernö Rubik, un hongrois, sculpteur et architecte, professeur à l'Ecole des Arts décoratifs de Budapest. D'abord son mécanisme, aussi simple qu'ingénieux.

Chaque face peut tourner sur elle-même, autour d'un axe passant par son centre.

De sorte que le carré central d'une face occupe toujours la même position par rapport aux autres faces (même s'il pivote sur lui-même).

En revanche, les quatre petits cubes qui forment les coins d'une face, tout comme les quatre qui forment ses bords (les arrêtes) sont déplacés à chaque rotation de la face.

Toutes les transformations que l'on peut faire subir au Rubik's Cube sont basées sur le même mouvement élémentaire : une rotation de 90 degrés soit un quart de tour, dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens contraire, imprimée à l'une quelconque des six faces. Comme chacun de ces mouvements élémentaires modifie la configuration du cube, et que l'on peut réaliser des séries de tels mouvements aussi longs que l'on veut, le nombre de configurations possibles est immense. 2) Combien exactement ? Pour le savoir, il faut introduire quelques notions mathématiques.

Tout d'abord, appelons permutation toute manipulation que l'on peut effectuer sur le cube, c'est-à-dire toute suite finie de rotations élémentaires. D'une manière générale, une permutation est une opération qui modifie l'ordre d'un ensemble fini d'objets : écrire les lettre de l'alphabet à l'envers (z, y, x, w ... ), battre un jeu de cartes, par exemple.

Les permutations sur un ensemble donné forment ce que l'on appelle un groupe.

En mathématiques, les groupes de permutations jouent un rôle essentiel pour certains problèmes.

Remarquons maintenant que calculer le nombre de configurations possibles du Rubik's Cube revient à calculer le nombre de permutations.

C’est à dire si deux suites distinctes de rotations élémentaires produisent le même effet, elles définissent la même permutation ; il est évident qu'il y a une infinité de telles suites, mails il est tout aussi évident que le cube ne peut prendre qu'un nombre fini de configurations (puisqu'il y a un nombre fini de faces, un nombre fini de petits carrés (les facettes) sur chaque face, un nombre fini de couleurs pour chaque facettes). Considérons le cube dans sa position de départ.

Pour chacune de ses configurations possibles, il existe une permutation qui fait passer le cube de sa position initiale à cette configuration.

Inversement, chaque permutation est parfaitement définie par l'effet qu'elle produit sur la position de départ.

Il y a donc exactement autant de permutations que de configurations accessibles à partir de la position de.

Pour calculer le nombre de permutations du Rubik's Cube, il faut regarder d'un peu plus près ce qui se passe lorsqu'on fait tourner les faces colorées.

La première idée qui vient à l'esprit est qu'exception faite des facettes centrales (entendons par facette chacun des petits carrés qui constituent une face), toutes les facettes se meuvent indépendamment les unes des autres et peuvent donc prendre n'importe quelle.... »