Les volumes – masse volumique

En 1629, Cavalieri, mathématicien

Milanais, développe la méthode des

indivisibles dans ses Exercitatianes

geametricae, méthode qui allait

inspirer ses successeurs pour le

développement du calcul intégral. Il fut

l'élève de Galilée qui reconnut très vite

son génie. Inspiré par les travaux

d'Euclide et d'Archimède, il calcule le

volume de la sphère selon une

méthode qui n'est pas sans rappeler

celle de ce dernier.

Que dit ce principe? «Si deux solides

ont même hauteur et si des sections qui

sont obtenues par des plans parallèles

aux bases de ces deux solides et à

distances égales de celles-ci sant dans

un rapport donné, alors les volumes

des deux solides sont aussi dans le

même rapport. \"

Cavalieri considère que tout solide est

la somme de morceaux de surfaces

planes et donc que le volume de ce

solide est la somme des aires de ces

surfaces, c'est le principe des

indivisibles. Ce principe fut très

contesté, notamment par Guldin qui

montra à travers un exemple qu'il

pouvait déboucher sur des résultats

faux. Il reste qu'il est historiquement

fondateur du calcul infinitésimal.

Certes ce principe est peu rigoureux

mais il est souvent efficace et permet de

comparer les volumes de deux solides

de formes apparemment très

différentes. Pour l'illustrer, prenons un

jeu de carte, empilées les unes sur les

autres. Chaque carte représente un

indivisible. L'ensemble des cartes a un

certain volume, si nous déformons le

tas de cartes, par exemple en en

appuyant la paume de la main sur le

jeu et en faisant tourner les cartes, nous

obtenons un autre solide, une espèce

de vis dont le volume est le même que

celui de notre tas de cartes

parallélépipédique du départ.

Nous avons donc deux volumes qui ont

la même hauteur (celle du jeu de carte)

et qui sont coupés par des sections

planes (chaque carte) qui sont dans un

rapport de 1 puisque toutes les cartes ont la même aire. On en conclut que

les deux volumes sont égaux.

Pascal utilisera ce principe

abondamment, notamment pour

calculer le volume du solide engendré

par une cycloïde tournant sur son axe.