Les nombres

« Les hommes ont vraisemblablement compté avant d~nventer les nom ­ bres proprement dits.

La première méthode de comptage consiste en la juxtaposition de traits .

On retrouve des entailles dans des os à partir de 35000 à 20000 av.

J.-C.

Les chas ­ seurs devaient ainsi comptabiliser le gibier qu~ls prenaient Cependant cette méthode ne pouvait leur permettre d'accéder à la notion de nombre .

Essayez , au premier coup d'œil, de dire combien de traits il y a dans les séquences suivantes : Ill 1 Il 1111111 1111 11111 Jusqu 'à quatre, cela ne pose aucun problème .

Au-delà, il faut se mettre à les compter ou à les grouper men­ talement par deux, trois ou quatre .

l'INVENTION DES NOMBRES Il e5t apparu différentes solutions pour contourner cette difficulté.

De 3000 av J.-C.

au début de l'ère chrétienne, certains peuples ont décomposé les nombres (1111 Ill pour 7), d'autres ont introduit un symbole pour le nombre cinq (Vll pour sept).

Dans les deux cas, le premier pas vers l'abstraction était franchi.

D'autres symboles sont alors apparus pour d'autres quantités.

La représentation du nombre était née, et avec elle, le calcul.

LA BASE Le principe de la base e5t apparu à peu près à la même époque.

Il con­ siste à regrouper des paquets de même importance.

Par exemple , dans la base décimale (base 10), on regroupe des paquets de dix, puis dix paquets de dix font un paquet de cent et ainsi de suite .

Ainsi, on écrit XX pour vingt CCCXli pour trois cent douze .

Dans la base binaire (base 2), utilisée en informatique , on regroupe des paquets de 2 , 4, 8, 16, etc ...

Le nombre 1101 correspond au nombre : 1 x8+ 1 x4+0x2+1 x 1=13 Grace à ce concept l'homme a très tôt pu compter et calculer avec des nombres beaucoup plus grands que ne lui permettaient ses dix doigts .

Les Sumériens ont par exemple développé une numération parlée sexagésimale (base 60) dès 5 000 avant J .-C.

La base la plus fréquem­ ment utilisée a été la base 10, sans doute à cause des dix doigts de la main.

C'est encore la base décimale que nous utilisons aujourd'hui .

LA NUIIIliAnON A l'aide de ce principe , les peuples ont développé différentes façons d'écrire les nombres , des numé­ rations.

Un premier système consiste à aligner autant de symboles « un » qu~l y a d'unités , de symbole • dix » qu~l y a de dizaine et ainsi de suite .

C'e5tle principe de la numération hyéroglyphique égyptienne qui apparaît vers 3 000 - 2 900 av.

J.-C.

C'e51 également le principe des n-bres m.11lns plus connus .

2 863 s'écrit MMDCCCLXIII .

Cepen­ dant ce système n'e51 pas adapté aux calculs, même très simples .

Par exemple, la simple addition de 2 863 avec 312 peut s 'avérer très délicate! Le second système qui est apparu, dit système de numération position­ nene (ou de position) e5t celui que l'on utilise encore aujourd'hui.

En base décimale, un symbole e5t attribué à chacun des chiffres jusqu 'à neuf.

Lorsque l 'on écrit un nombre, la valeur du chiffre e5t déterminée par sa position.

Par exemple, dans 2 863, le 2 a une valeur de deux mille, le 8 vaut huit cenL le 6 vaut soixante et le 3 vaut trois .

Ce système se révèle beaucoup plus efficace que le précédent pour les calculs, même compliqués .

Les Babyloniens possédaient un système de numération positionnelle sans zéro existant depuis 1 900- 1 800 av.

J.-C.IIs introduisent un symbole pour le zéro au 11~ siècle av.

J .-C.

mais il n 'est alors pas considéré comme un nombre à part entière .

l'INVENnON DU UIO Les chiffres (de l'arabe sifr, «vide») utilisés sont d 'abord les chiffres de -----------....1------------l 1 à 9.

Mais le zéro n'apparaît que Base2 omtHt±J unit6 blin cerré cube 1101 • t±J .rn.

cube carré base / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ( ( = / 1 1 ~ 1 1 1 = 13 1 unité= 1 x 2°= 1 Obase=Ox2 1 1 carré=1 xr 1 cube= 1 x2' +Ô unité ( ( ~ plus tard .

En Inde, le système de numération positionnelle a été inventé au IV" siècle tt partir des neuf chiffres existants auxquels on ajoute un petit cercle ou un point : le zéro.

Il e5t alors considéré comme l'égal des autres chiffres .

La numé­ ration moderne c'est-à-dire la numération décimale positionnelle avec le zéro est née.

Elle est introduite dans la culture islamique au VIl~ siècle, puis au 10~ siècle en Europe lors des croisades .

Les chiffres tels que nous les connais­ sons dits • arabes • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 proviennent de ces chiffres indiens.

Leur graphie a été fixée au '1!1' siècle lors de l~nvention de l'im­ primerie en Europe.

Ces symboles sont répandus aujourd'hui partout dans le monde.

Ce ne sont cependant pas les seuls existants .

Par exemple, du Proche-Orient jusqu 'à la Malaisie en passant par le Moyen-Orient l'Inde musulmane, l 'Indonésie , on utilise de préférence la graphie Y r f o i V Il , avec le même principe de numé­ ration positionnelle .

LES DIFFÉRENTS ENSEMBLES DE NOMBRES LES ENnEIS NATUIELS Lorsqu 'un enfant commence à compter , il dit« moi, je sais compter jusqu'à 100 » .

Lorsqu~l comprend qu'il pourra même compter jusqu'à 101, il a compris ce que sont les entiers naturels.

Car il saura qu'il peut compter jusqu'à 102, puis 103, ainsi de suite indéfiniment ! l'en­ semble des entiers naturels, noté N e5tl'ensemble des nombres o.

1, 2, 3 , 4, ...

MathématiquemenL il e5t défini par les axiomes de Peano : • 0 e5t un entier naturel.

• Tout entier naturel a un successeur .

• Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux .

• 0 n'e5tle successeur d'aucun entier naturel.

• Si une partie P de N contient 0 et le successeur de tout élément de P, alors Pest égale à N.

Le cinquième axiome s'appelle axiome d~nduction et permet de faire des raisonnements par récur­ rence : on considère une propriété P(n) dépendant d'un entier n .

Si la propriété Pest vraie pour n= o.

et si sa véracité pour un entier n entraîne sa véracité pour l'entier n+ 1, alors cette propriété e5t vraie pour n~m­ porte quel entier n.

l'ensemble N est muni de l'addition et de la multiplication.

De plus, on peut toujours comparer deux entiers entre eux avec la relation « inférieur ou égal » (s).

On dit que N e51 tota ­ lement ordonné .

CependanL on ne peut considérer la soustraction dans cet ensemble.

En effeL le résultat de l'opération (3-5) n 'appartient pas à N.

En langage mathématique, on dit que l'équation x+ 5=3 n'a pas de s olution dans N.

Le même problème se pose avec la division.

l'équation lx=J n'a pas non plus de solution dans N.

LES ENTIUS IELATIFS On ajoute à N les entiers négatifs.

On obtient l'ensemble des entiers relatifs (ou entiers){ ...

, -3,-2 ,-1, o, 1, 2,3, ..

.

}.

Cet ensemble e5t noté z.

l'ensemble Z a hérité des propriétés de N : il e5t totalement ordonné et il e5t muni de l'addition et de la multi­ plication.

A ces deux opérations s'ajoute la soustraction.

CependanL le problème de la division n'e51 pas résolu.

l'équation lx=J n'a pas plus de solution dans Z qu'elle n'en avait dans N .

lEs NOIIIIIES DlCIIIIAUl Un nombre décimal e5t formé de deux entiers séparés par une virgule .

Le nombre de gauche s'appelle partie entière ; celui de droite est la partie décimale.

C'e51 ainsi un nom­ bre s'écrivant avec un nombre fini de chiffre derrière la virgule en système décimal.

Par exemple 12 ; 1 , 234; 3,1416 sont des nombres décimaux mais 1/3 ne l'est pas.

l'ensemble des nombres décimaux est noté D .

Dans cet ensemble, l'équation 2x=J a pour solution x= 1 , 5 mais d'autres équations comme par exemple Jx= 1 , n'ont toujours pas de solution.

lEs NOIIIIIES IAnONNELS Un nombre rationnel e5t un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient ajb où a et b sont des entiers relatifs.

l'ensemble des nom ­ bres rationnels e5t noté Q .

Dans cet ensemble , toutes les équations du premier degré, c'e51-à-dire de la forme ax=b, ont une solution .

l'ensemble Q e5t totalement ordon­ né, et muni de l'addition , de la multiplication, de la soustraction et de la division.

En numération posi­ tionnelle, les nombres rationnels s'écrivent de façon périodique .

Par exemple : •1/7 = O,illill142857 14 ...

(période 6) • 4/3 = l,l33 ...

(période 1) LES NOIIIIIES llELS Qu'en e5t-il des nombres dont la partie décimale ne s'écrit pas de façon périodique? On les appelle nombres irrationnels.

Dans l'Anti­ quité, Aristote a déjà pointé les faiblesses des nombres rationnels .

En construisant un carré de côté 1, il tente de calculer la loltgueur d'un dillfOIIIIIe.

Le théorème de 121 at.

1 2 + P• 2 (Pythagore) • -.fi Pythagore lui apprend que le carré de cette longueur (l'hypoténuse d'un triangle rectangle) e5t 2.

Il cherche donc à résoudre l'équation du second degré x'=2.

Il montre que la solution ne peut s'écrire comme un quotient ajb et n'est donc pas rationnelle (dans Q).

On peut écrire une approximation de ce nombre, mais les chiffres de la partie déci­ male semblent apparaître de façon aléatoire (../2 = 1,414 213 562 ...

).

Le même problème s'applique à n ou e (base des exponentielles).

Ainsi les nombres irrationnels étaient abondament utilisés, pourtant ce n'est qu'à la fin du XIX' siècle que l'ensemble des nombres réels R est construit théoriquement de manière rigoureuse de deux façons différentes par Dedekind et Cantor.

Il peut être représenté par la droite des réels.

Cet ensemble e5t lota-. »