Traité du Triangle arithmétique de Blaise PASCAL

Le nombre de la première cellule qui est à l’angle droit est arbitraire; mais celui-là étant placé, tous les autres sont forcés ; et pour cette raison il s’appelle le générateur du triangle. Et chacun des autres est spécifié par cette seule règle :

Le nombre de chaque cellule est égal à celui de la cellule qui la précède dans son rang perpendiculaire, plus à celui de la cellule qui la précède dans son rang parallèle. Ainsi la cellule F, c’est-à-dire le nombre de la

cellule F, égale la cellule C, plus la cellule E, et ainsi des autres.

D’où se tirent plusieurs conséquences. En voici les principales, où je considère les triangles dont le générateur est l’unité; mais ce qui s’en dira conviendra à tous les autres.

Les cellules d’une même base également distantes de ses extrémités sont dites réciproques, comme celles-ci, E, R et B, 0, parce que l’exposant du rang parallèle de l’une est le même que l’exposant du rang perpendiculaire de l’autre, comme il paraît en cet exemple, où E est dans le second rang perpendiculaire et dans le quatrième parallèle, et sa réciproque R est dans le second rang parallèle, et dans le quatrième perpendiculaire réciproquement; et il est bien facile de démontrer que celles qui ont leurs exposants réciproquement pareils sont dans une même base et également distantes de ses extrémités.

Il est aussi bien facile de démontrer que l’exposant du rang perpendiculaire de quelque cellule que ce soit, joint à l’exposant de son rang parallèle, surpasse de l’unité l’exposant de sa base.

Par exemple, la cellule F est dans le troisième rang perpendiculaire, et dans le quatrième parallèle, et dans la sixième base, et ces deux exposants des rangs 3 + 4 surpassent de l’unité l’exposant de la base 6, ce qui vient de ce que les deux côtés du triangle sont divisés en un pareil nombre de parties; mais cela est plutôt compris que démontré.