mathématiques - science.

« autres problèmes mathématiques célèbres apparaissent au cours de ce siècle : diviser un angle en trois angles égaux et construire un cube dont le volume est le double d’un cube donné.

Ces trois problèmes seront résolus à l’aide d’instruments beaucoup plus complexes qu’une règle et un compas.

Ce n’est qu’au XIX e siècle que l’on démontrera qu’il est impossible de les résoudre au moyen de ces deux instruments. Dans la seconde moitié du Ve siècle av.

J.-C., une découverte dérangeante est faite : aucune unité de longueur ne permet de mesurer en même temps le côté et la diagonale d’un carré.

En d’autres termes, ces deux longueurs sont incommensurables : la relation numérique existant entre le côté et la diagonale ne peut s’exprimer par le rapport de deux nombres entiers m et n.

Les Grecs considérant que seuls les éléments de dénombrement (1, 2, 3, etc.) sont des nombres, ils n’ont donc pas de moyen numérique pour exprimer le rapport de la diagonale sur le côté.

(Ce rapport, Ã, sera appelé nombre irrationnel.) Ainsi est mise en doute la théorie de Pythagore sur les rapports des nombres.

Une nouvelle théorie apparaît au IVe siècle av.

J.- C., introduite par Eudoxe de Cnide.

On en trouve la présentation dans les Éléments d’Euclide. Les treize livres qui constituent les Éléments contiennent une grande part des connaissances mathématiques élémentaires, découvertes avant la fin du IVe siècle av.

J.-C., et concernent la géométrie des polygones, le cercle, la théorie des nombres, la théorie des incommensurables, la géométrie des solides et la théorie élémentaire sur les aires et les volumes. Le IVe siècle av.

J.-C.

est marqué par un brillant développement des mathématiques, comme en témoignent, par exemple, les travaux d’Archimède de Syracuse et d’Apollonios de Perga.

Archimède utilise, par exemple, une méthode fondée sur la pesée théorique de parties de figures infiniment petites et permettant de déterminer les aires et les volumes des figures issues de sections coniques.

Ces sections coniques, découvertes par Menaechmus, élève d’Eudoxe, ont fait l’objet d’un traité d’Euclide.

Cependant, les écrits d’Archimède sur ces sections coniques sont les premiers connus.

Archimède étudie également les centres de gravité et la stabilité de différents solides flottant sur l’eau.

Une grande partie de ses travaux conduira à la découverte du calcul infinitésimal au XVII e siècle.

Son contemporain Apollonios écrit un traité de huit livres sur les sections coniques.

Ce traité introduit les noms de trois types de courbe : ellipse, parabole et hyperbole, et en donne une présentation géométrique qui restera en usage jusqu’au XVII e siècle. Après Euclide, Archimède et Apollonios, la Grèce ne connaîtra pas de géomètre de stature comparable.

Les écrits de Héron d’Alexandrie, au Ier siècle av.

J.-C., témoignent du fait que les éléments babyloniens et égyptiens concernant les mesures et l’arithmétique survivent à côté des théories des grands géomètres.

Dans la même tradition, mais pour des problèmes beaucoup plus complexes, on peut citer les livres de Diophante d’Alexandrie, du IIIe siècle apr.

J.-C.

Ils permettent de déterminer des solutions rationnelles d’équations à plusieurs inconnues.

De telles équations, appelées équations diophantiennes, sont le sujet de l’analyse diophantienne. Parallèlement à ces travaux proprement mathématiques, de nombreuses études sont faites en optique, en mécanique et en astronomie.

Des auteurs, tels qu’Euclide ou Archimède, écrivent des ouvrages dans certains domaines d’astronomie.

Peu après Apollonios, les astronomes grecs adoptent le système babylonien de notation des fractions et établissent des tables pour les mesures des cordes d’un cercle.

Pour un cercle de rayon donné, ces tables donnent la longueur des cordes sous-tendant une séquence d’arcs dont les mesures augmentent suivant un pas fixe.

Ces tables sont équivalentes à la table des modernes sinus et leur invention marque les débuts de la trigonométrie.

Dans les premières tables (celles d’Hipparque, vers 150 av.

J.-C), la mesure des arcs est donnée par 7,5°, de 0° à 180°.

À l’époque de Ptolémée, au IIe siècle apr.

J.-C., la maîtrise grecque des procédures numériques a tellement progressé que ce dernier peut introduire dans son Almageste une table donnant les cordes d’un cercle par pas de 0,5°.

Ce pas, exprimé en système sexagésimal, correspond, en fait, à une précision d’environ 10 -5. Dans le même temps, des méthodes sont développées pour résoudre des problèmes impliquant des triangles plans, et un théorème — portant le nom de l’astronome Ménélaüs d’Alexandrie — permet de déterminer les longueurs de certains arcs sur une sphère, connaissant la mesure d’autres arcs.

Ces progrès permettent aux astronomes grecs de résoudre les problèmes de l’astronomie sphérique et de développer un système qui servira jusqu’à l’époque de Johannes Kepler. 3 MATHÉMATIQUES DU MOYEN ÂGE ET DE LA RENAISSANCE Après Ptolémée apparaît une tradition consistant à étudier les connaissances mathématiques des siècles antérieurs et qui aura pour heureux corrélat la préservation des ouvrages anciens.

Cependant, les premiers développements fondés sur ces connaissances n’apparaîtront que dans le monde arabo-islamique. 3. 1 Mathématiques indiennes et arabes L’islam, né dans la péninsule Arabique, connaît pendant un siècle une expansion rapide et règne sur un territoire s’étendant de l’Espagne aux frontières de la Chine.

Cela amène les musulmans à prendre connaissance des « sciences étrangères ».

Dans des centres tels que la Maison de la Sagesse, à Bagdad, des traducteurs, soutenus par les califes et par de riches mécènes, donnent les versions arabes des ouvrages mathématiques grecs et indiens. Vers l’an 900, ce travail s’achève.

Les savants musulmans utilisent ces acquis auxquels ils apportent de nouvelles contributions.

Ainsi, les mathématiciens élargissent le système de numération positionnel indien, en introduisant les fractions décimales. Au XII e siècle, Omar Khayam, généralisant les méthodes indiennes d’extraction des racines carrées et cubiques, introduit les racines quatrièmes, cinquièmes et d’ordres supérieurs.

Al-Karadji complète l’algèbre de Muhammad al-Khuwarizmi sur les polynômes, en introduisant des polynômes avec un nombre infini de termes — le nom d’al-Khuwarizmi a donné le mot algorithme, et le titre de l’un de ses livres est à l’origine du terme algèbre. Des géomètres, tels que Ibrahim ibn Sinan, poursuivent les études d’Archimède sur les aires et les volumes.

Kamal al-Din, entre autres, applique la théorie des sections coniques pour résoudre des problèmes d’optique.

De Habas al-Hasib à Nasir al-Din al-Tusi, les mathématiciens créent la trigonométrie plane et la trigonométrie sphérique, en utilisant la fonction sinus indienne et le théorème de Ménélaüs.

Ces nouvelles disciplines ne prendront place dans la mathématique occidentale qu’avec la publication de De Triangulis Omnimodibus, par l’astronome allemand Regiomontanus. Enfin, plusieurs mathématiciens musulmans font d’importantes découvertes en théorie des nombres, tandis que d’autres exposent différentes méthodes numériques pour résoudre les équations.

Le monde occidental latin fera sien une grande partie de ce savoir au cours du XII e siècle, le grand siècle de la traduction.

Avec les traductions des classiques grecs, tous ces travaux musulmans seront à l’origine du développement des mathématiques occidentales au cours du Moyen Âge. 3. 2 Mathématiques en Europe Les connaissances des mathématiciens italiens, tels que Leonardo Fibonacci et Luca Pacioli, dépendent beaucoup des travaux arabes.

Luca Pacioli, l’un des nombreux auteurs du XVe siècle, publie des traités d’algèbre et d’arithmétique pour les marchands. À la fin de l’époque médiévale, des auteurs tel que Nicole Oresme introduisent des considérations mathématiques sur l’infini.

Ce n’est cependant qu’au début du XVI e siècle qu’une découverte mathématique vraiment importante est faite en Occident.

Il. »