La topologie
Publié le 07/04/2015
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topologie n.f. (angl. Topology; allem. Topologie). Géométrie souple qui traite en mathématiques des questions de voisinage, de transformation continue, de frontière et de surface sans faire intervenir nécessairement la distance métrique.
En psychanalyse, le terme topologie se réfère essentiellement aux élaborations de J. Lacan (—> mathème). À partir de 1962, Lacan a développé dans le séminaire l'Identification la topologie du
tore, de la bande de Mitibius et du cross-cap. Celle-ci est résumée dans le texte l'Ètourdit de 1972. Le tore, qui est comparable à la surface d'une chambre à air, représente l'enchaînement du désir au désir de l'Autre (fig. 1).
En effet, le signifiant de la demande se répète en faisant sur le tore une coupure qui tourne à la fois autour du «trou circulaire« du tore et autour du trou central. C'est-à-dire que la demande semble tourner autour d'un objet mais elle rate le véritable objet du désir, qui se situe ailluers, dans le trou central. Il faut alors se représenter le tore du grand Autre enchaîné avec le premier de telle sorte que demande et désir se situent ici de façon inversée.
Figure I. Le tore.
Ainsi, le désir du sujet névrosé représenté dans ces tores a pour objet la demande de l'Autre et, inversement, ce que le sujet demande, c'est l'objet de l'Autre. Dans la bande de Miibius, par contre, la coupure représentée par le bord unique de la bande cerne un objet a (fig. 2).
La bande de Miibius peut être illustrée par une ceinture qu'on a refermée après avoir effectué une demi-torsion. Cette surface curieuse a la propriété de ne posséder qu'une seule face et qu'un seul bord. Cette bande, où l'endroit rejoint l'envers, représente bien le rap‑
Figure 2. La coupure de la bande de Mâbius. En haut (a), bande de Milbius; en bas (b), bande de Miibius bipartie. Cette bande comporte deux bords et deux faces alors que la bande de Mabius n'a qu'une seule face et un seul bord. (Lacan, Écrits, Éd. du Seuil.)
port de l'inconscient au discours conscient. Cela signifie que l'inconscient est à l'envers mais qu'il peut surgir dans le conscient en tout point du discours. Il est possible de figurer l'interprétation comme une coupure médiane de cette bande, qui la transformerait alors en une autre bande munie de deux faces et de deux bords. C'est-à-dire que l'interprétation analytique mettrait en évidence l'inconscient comme envers du discours dans le même temps où cet inconscient se désisterait comme tel.
Lacan montre dans l'Étourdit la transformation du tore névrotique en bande de Mêibius par la coupure interprétative. Le bord unique de la bande de Miibius est l'équivalent d'un cercle, si bien que ce bord peut servir de frontière à un disque qui viendrait ainsi fermer la bande de MCibius. Cette opération ne peut s'imaginer dans l'espace à trois dimensions qu'en admettant un artifice, c'est-à-dire que les surfaces puissent se traverser. La surface ainsi formée n'a plus de bord. Elle ressemble à une sphère mais, comme la bande de Miibius, elle n'a qu'une seule face, c'est-à-dire que l'intérieur communique avec l'extérieur. C'est le cross-cap, un modèle du plan projectif (fig. 3).
Le disque, la rondelle fermant la bande de Mbbius, constitue l'objet a. Cet objet a, qui échappe donc au niveau du tore, se découpe sur le cross-cap. Cette topologie soutient le mathème du fantasme ($ 0 a), où la coupure du sujet est représentée par la bande de Mbbius alors que l'objet a est figuré par la rondelle.
LE SCHÉMA R
Armés de cette topologie, abordons la description du schéma R et le schéma Ide la Question préliminaire à tout traitement possible de la psychose.
Le schéma R (fig. 4) contient le trajet Saa'A déjà rencontré dans le schéma L du séminaire sur la Lettre volée (-*
mathème), où la relation symbolique du sujet S et de l'autre A se double de la relation imaginaire du moi a' et de ses objets a.
Nous pouvons, grâce au séminaire la Relation d'objet, contemporain de la rédaction de ce texte, retracer les lignes de construction du champ de la réalité dans ce schéma R.
C'est la relation symbolique mère-enfant qui constitue le premier axe de cette réalité. Mais cette relation symbolique, dès le début, ne se réduit pas à la dépendance de la satisfaction ou de la non-satisfaction des besoins; l'enfant est dépendant de l'amour de cette mère, c'est-à-dire du désir de son désir.
Le stade du miroir permet d'introduire une certaine dialectique dans ce système primitif en offrant à l'enfant une perception à la fois réelle et irréelle, une image captivante et aliénante (1). Du fait de la prématurité de cette image s'ouvre une faille dans l'imaginaire qui répond à une autre béance dans le symbolique du côté de la relation à cet Autre qui est là, témoin de la scène. M désigne cet Autre réel, cet objet primordial maternel, support de «la Chose «. L'image i constitue alors un point d'appui, une limite de la réalité. Ce repérage offre au sujet la possibilité
d'entrer en sens contraire, pour les identifications du moi (m), dans un autre champ constitué par le triangle mIM, homologue et inverse du triangle miM. Ces identifications successives se font dans la direction du symbolique où le moi prend la fonction d'une série de signifiants avec pour limite l'idéal du moi I, au niveau paternel. Le champ miMI de la réalité se constitue donc en direction du symbolique et se trouve semé de signifiants. L'identification à l'idéal du moi du côté paternel permet, dit Lacan, « un détachement plus grand par rapport à la relation imaginaire qu'au niveau de la relation à la mère.
L'identification du sujet au phallus imaginaire, au sommet du triangle imaginaire i rp m, en tant qu'objet du désir de la mère, doit être «détruite corrélativement au dévoilement en A, le lieu de l'Autre, du Nom-du-Père P, au sommet du triangle symbolique IPM destiné à recouvrir le triangle imaginaire.
La note de 1966 du texte des Écrits permet d'identifier le schéma R à un plan projectif étalé, c'est-à-dire un cross-cap; en effet, il est possible de joindre les points antipodaux sur les bords de ce carré. C'est déjà ce que
Figure 3. La topologie du cross-cap.
À gauche (a), k cross-cap; au centre (b), la coupure en double boucle du cross-cap; à droite (c), la
bande de Mabius. La rondelle de l'objet a ferme la bande de Mabius pour constituer le cross-cap.
suggèrent les lignes pointillées et la disposition des lettres mM, iI. (Nous pouvons imaginer que localement m vient se placer à l'envers de M, i à l'envers de I, mais cet envers étant en fait sur la même face que l'endroit.)
Dans cette opération, le quadrangle miMI se transforme en bande de Môbius et les triangles S et I ne forment plus qu'un seul disque, ou rondelle, s'appuyant sur la bande de Môbius grâce à la frontière commune. C'est cette frontière commune qui est comti-tuée par la coupure unique i MI, c'est effectivement la seule véritable coupure de la surface, le bord du carré n'étant en fait qu'artificiellement figuré puisque destiné à être recollé à lui-même, chaque trait plein correspondant au trait pointillé antipodal.
Cette coupure isole une bande de Môbius qui recouvre le champ de la réalité. Il existe une identité paradoxale de cette coupure et de la bande de Môbius du point de vue topologique. C'est pourquoi, sur cette bande, «rien n'y est mesurable qui soit à retenir de sa structure c'est-à-dire que la largeur de la bande n'a pas de valeur structu‑
rale. Par cette coupure, le réel constitue la frontière entre l'imaginaire et le symbolique, qui se retrouvent pourtant sur le même bord. Si l'écran du fantasme vient obturer le champ de la réalité, il n'efface pas la coupure du réel, qui reste marginale. En effet, c'est cette coupure qui donne le cadre, la structure du fantasme; la coupure du plan projectif est aussi bien symbolisée dans la barre du sujet $ que dans le losange <> qui articule, dans la formule du fantasme, $ à l'objet, $ Q
Dans le séminaire sur
Dans la psychose, le champ de la réalité se trouve remanié. Il s'agit d'abord d'une régression topique, structurale.
À partir des triangles iMm et mMI, il faut concevoir, dans le sens inverse de celui signalé plus haut, le mouvement d'intrusion au niveau de la limite i de l'image du corps propre dans le champ R, et, au niveau du moi, un déchaînement des signifiants. Ces deux mouvements viennent distordre le champ de la réalité toujours limité par les lignes
NŒUD BORROMÉEN
pure d'une des trois libère les deux autres.
Le noeud borroméen permet alors une nouvelle écriture des mathèmes du noeud. Ainsi, Lacan situe le sens au niveau où le symbolique recouvre l'imaginaire; le sens est bien un effet du symbolique dans l'imaginaire, mais le noeud montre que le réel intervient également, si bien que l'effet de sens de l'interprétation analytique peut être aussi réel. L'objet a trouve sa place au niveau central; la jouissance phallique (Pl)) et la jouissance de l'Autre (JA) sont également situées sur le noeud. À partir de là, la clinique illustre les différents modes de nouage du noeud, c'est-à-dire la façon singulière pour un sujet de faire tenir ensemble ces différentes dimensions, éventuellement grâce à un quatrième cercle, celui du symptôme.