différentielle (équation).

différentielle (équation). équation dont l'inconnue est une fonction dérivable et faisant intervenir explicitement ses dérivées. Lorsque la dérivée première intervient seule, une telle équation s'écrit traditionnellement sous la forme : y' = f (x, y ), où f est une fonction donnée de deux variables, où x est une variable réelle, où y et y' sont les valeurs au point x de la fonction inconnue et de sa dérivée. Cauchy a énoncé des théorèmes d'existence et d'unicité de telles équations (voir analyse). Par exemple, l'équation y ' = y a dmet pour solutions les fonctions de la forme x _ ^ex , où ^ est un nombre réel ( voir exponentielle [fonction] ). Cette équation intervient dans de nombreux phénomènes physiques, biologiques ou économiques (radioactivité, croissance de la population, inflation...). De même, une équation différentielle du second ordre a pour inconnue une fonction deux fois dérivable ; elle fait intervenir les dérivées première et seconde de cette fonction. Une telle équation se note : y" = f(x, y, y'). Un cas particulièrement fréquent est celui des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficient constant : y" + ay' + by = 0, où a et b sont des nombres réels donnés. L'exemple le plus célèbre est l'équation du pendule : y" + y = 0, ainsi nommée car elle régit les petites oscillations d'un pendule. Les solutions sont de la forme x _ ^ cos x + ` sin x.