approximation - encyclopédie.

approximation - encyclopédie. n.f. MATHÉMATIQUES : remplacement, en vue des calculs, d'un nombre (ou d'une fonction) par un nombre (ou une fonction) plus simple. Par exemple, le nombre décimal 3,1416 est une approximation du nombre réel Y ; de même, la fonction x _ cos x est approchée par la fonction x lorsque x est voisin de 0. Lorsqu'un nombre est défini comme racine d'une équation, limite d'une suite, mesure d'un objet, etc., on en cherche généralement une approximation décimale. Considérons par exemple le nombre O (c'est-à-dire la solution positive de l'équation x2 = 2). En pratique, on remplace ce nombre par 1,41 ou par 1,414 ; on note alors : O S 1,41 ou O S 1,414. (Le symbole S se lit : « sensiblement égal à «). Mais O n'est pas égal à 1,41 ni même à 1,414. La preuve en est que 1,412 = 1,9881 et 1,4142 = 1,999 396. Une calculatrice de poche fournira 1,414 213 562. Mais cela n'est toujours pas la valeur exacte de O . De même, une calculatrice fournira pour le nombre Y la valeur 3,141 592 265 4, bien suffisante pour les applications courantes. Soit a un nombre réel. On dit qu'un nombre réel b est une valeur approchée de a à la précision 0,1 (ou 10-1) si la différence entre a et b n'excède pas 0,1 : a - b £ 0,1. Ainsi, les nombres 1,4 et 1,5 sont des valeurs approchées de O à la précision 10-1. Le nombre 1,4 est inférieur à O ; on dit que c'est une valeur approchée par défaut. Le nombre 1,5 est supérieur à O ; on dit que c'est une valeur approchée par excès. On dit aussi que 1,4 et 1,5 constituent un encadrement de O . Plus généralement, soit n un nombre entier naturel. On dit que b est une valeur approchée de a à la précision 10-n si a - b £ 10-n. Ainsi, le nombre 1,414 213 562 est une valeur approchée décimale par défaut de O à la précision 10-9. Un autre aspect important de l'analyse mathématique contemporaine est l'approximation des fonctions. Considérons par exemple une équation différentielle. Des théorèmes généraux garantissent l'existence et l'unicité d'une solution satisfaisant à des conditions initiales imposées. Mais ce résultat sera inopérant pour calculer la valeur de cette solution en un point donné. C'est pourquoi on approche la solution par une fonction plus simple (fonction affine par morceaux, fonction polynomiale de faible degré, fonction rationnelle) dont on calcule aisément les valeurs. L'analyse de Fourier permet d'approcher des fonctions par des sommes de séries trigonométriques ; ce type d'approximation est bien adapté aux situations dans lesquelles on dispose d'un procédé physique simple pour produire des phénomènes représentés par des fonctions circulaires, comme par exemple en électronique. L'approximation de certains nombres, en particulier pour la fabrication de tables de logarithmes, a largement favorisé les découvertes mathématiques des XVIIe et XVIIIe siècles. De même, aujourd'hui, depuis l'apparition des ordinateurs, les techniques d'approximation de fonctions ont retrouvé une place importante dans les recherches mathématiques. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats dichotomie différentiel (calcul) Fourier (baron Joseph) série