algèbre - Définition.

algèbre - Définition. n.f., branche des mathématiques. L'algèbre a d'abord été l'étude des équations, puis l'ensemble des procédés de calculs et de manipulations des nombres qui se sont développés à partir de cette étude ; ce que l'on appelle volontiers algèbre classique recouvre aujourd'hui toutes les propriétés, conventions et techniques de calcul traditionnelles concernant les nombres réels, les nombres complexes, les polynômes et les fractions rationnelles ; en termes plus techniques, « faire de l'algèbre classique «, c'est « calculer dans un corps «. Aujourd'hui, l'algèbre moderne est devenue plus largement l'étude des structures, c'est-àdire des ensembles mathématiques munis d'opérations ; l'étude des propriétés de ces opérations amène à privilégier certaines structures qui apparaissent comme universelles : ainsi pour les groupes, les anneaux, les idéaux, les corps, les espaces vectoriels, les algèbres (ce dernier mot désigne, dans un contexte très particulier, un espace vectoriel muni d'une « multiplication « distributive sur l'addition et compatible avec la loi d'action ; par exemple, l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 est une algèbre associative). Développement historique. Le mot « algèbre « tire son origine du titre d'un ouvrage du mathématicien arabe Muhammad al-Kh?razmi, Hiss?b al-jabr w'al-muq?balah (que l'on peut traduire par « Art du calcul par la transposition et la réduction «), écrit vers 820-830. Al-Kh?razmi s'intéressa à la résolution des équations du second degré pour lesquelles il proposa deux règles de calcul fondamentales : al-jabr, qui consistait à ajouter d'un côté de l'égalité les termes à soustraire de l'autre, et al-muq?balah, qui consistait à réduire les termes égaux des deux côtés. Ensuite, ce fut la redécouverte, par Regiomontanus, en 1464, des Arithmétiques d e Diophante, qui donna naissance à ce qui fut appelé l'art de la chose cherchée ( ars rei et census). L'usage des lettres pour désigner des inconnues s'étant répandu au XVI e siècle, Viète l'étendit aux coefficients des équations ( Isagoge in artem analyticam, 1591). Parallèlement au développement de l'imprimerie, les notations algébriques se stabilisèrent, au point que l'algèbre du XVIIe siècle ressemble sensiblement à la nôtre. Après deux siècles de grandes découvertes en analyse, l'algèbre prit alors une autre direction : la généralisation de la notion d'opération, et donc de calcul, à d'autres objets que les nombres, permit de dégager la notion de groupe : d'abord avec les groupes de substitution des racines d'une équation (découvertes d'Abel, M émoire sur les équations algébriques, 1824 ; et de Galois, Lettre à Auguste Chevalier, 1832) ; ensuite avec l'école logique anglaise (Boole, Essai sur un calcul du raisonnement déductif , 1847 ; Morgan, Sur le syllogisme et la logique des relations, 1860) ; enfin avec les groupes de transformations géométriques (Programme d'Erlangen , de Felix Klein, en 1872). Pendant la même période (1843), Kummer faisait des calculs sur des nombres abstraits, « idéaux «, dont les propriétés inhabituelles l'amenèrent à préciser la structure d'anneau. Et Grassmann précisait les bases du calcul vectoriel ( Ausdehnungslehre, 1844), que Hamilton allait généraliser (Elements of Quaternions, 1866) avant que Peano ne précise définitivement, en 1888, les axiomes de l'algèbre linéaire ( Calcolo geometrico e operazioni della logica deduttiva). À partir de la fin du XIXe siècle, on assista à une remise en place des différentes branches des mathématiques, selon les structures algébriques qui les caractérisaient. Cette « algébrisation « de « la « mathématique provenait de l'explicitation d'une idée essentielle que l'on peut résumer en trois mots : « tout est calcul «, c'est-à-dire que l'on peut calculer non seulement sur des nombres mais aussi sur des suites ou des ensembles de nombres, sur des fonctions, sur des figures géométriques, sur des transformations, sur des formes. Ce qui est important, en définitive, ce ne sont pas les objets qui vont être soumis à un calcul, mais les types d'opérations et les propriétés de ces opérations qui prennent un sens dans ce calcul.