affine (géométrie), partie de la géométrie étudiant les propriétés d'alignement des points, d'intersection ou de parallélisme de droites, de convexité et de barycentre, sans jamais faire référence aux notions d'angle et de distance.

affine (géométrie), partie de la géométrie étudiant les propriétés d'alignement des points, d'intersection ou de parallélisme de droites, de convexité et de barycentre, sans jamais faire référence aux notions d'angle et de distance. Les propriétés affines de la géométrie d'Euclide. En 1899, David Hilbert avait distingué cinq classes d'axiomes à la source de la géométrie d'Euclide ; l'une de ces classes exprime les conditions caractérisant des figures « superposables « (traduites, dans la première moitié du XXe siècle, par ce que l'on a appelé des « cas d'égalité « de figures). Ce sont les quatre autres classes d'axiomes qui fondent les propriétés de la géométrie affine, à savoir : les relations d'appartenance réciproques entretenues par les points, les droites et les plans ; la structure ordonnée des points sur une droite, et celle, circulaire, des droites autour d'un point ; le caractère continu de l'ensemble des points d'une droite (analogue à celui des nombres réels) ; l'existence et l'unicité d'une « direction de droite « en tout point, fondées par le « postulat des parallèles «. À ces axiomes s'ajoute une propriété essentielle connue sous le nom de « théorème de Desargues « (et bien énoncée par lui en 1639). Le développement des conséquences de ces axiomes mène aux grands thèmes de la géométrie affine : 1) l'étude des transformations affines, qui sont les transformations géométriques de l'espace qui conservent l'alignement des points, et qui débouchent sur la découverte d'un invariant fondamental : le birapport de quatre points. Dans le cas particulier d'un espace réduit à une dimension (la « droite affine réelle «), les transformations affines de point sont exactement celles qui se traduisent sur leurs abscisses par : x _ ax + b ; ces applications de u dans u sont appelées applications affines ; 2) la convexité ; 3) le calcul barycentrique, introduit par Möbius en 1827 ; 4) le calcul vectoriel géométrique, fondé sur les propriétés du parallélogramme et la relation de Chasles : . En fait, par un retournement classique de l'histoire, le calcul vectoriel, né de la géométrie classique au milieu du XIXe siècle, allait se généraliser et s'abstraire pour devenir l'algèbre linéaire, dont « les « géométries peuvent n'être aujourd'hui que des chapitres particuliers. La définition d'un espace affine. Soit o un espace vectoriel sur le corps des nombres réels, dont les éléments seront appelés « vecteurs «, et \ un ensemble, dont les éléments seront appelés « points «. On dit que \ est un espace affine associé à o lorsque chaque vecteur J définit une transformation de \ dans \, notée et appelée translation de vecteur J , telle que, pour tout couple (A,B) de points, il existe un et un seul vecteur dont la translation envoie A sur B. Ce vecteur pourra alors être aussi désigné par . Cette définition réalise un tour de passe-passe mathématique très remarquable qui réclame un commentaire : l'immense avantage de l'algèbre linéaire sur la géométrie classique réside dans la possibilité de calculer sur les objets étudiés, en remplaçant la manipulation de théorèmes par des calculs analogues à ceux que l'on mène avec des nombres ; c'est ce que Descartes avait le premier pressenti et expérimenté, et que les mathématiciens du XVIIIe siècle avaient développé sous le nom de géométrie analytique. Mais cette « algébrisation « a le gros défaut de privilégier un élément particulier associé au « zéro « du calcul ; or ce « pointorigine « n'existe pas naturellement dans l'espace objet de notre étude ; d'où l'idée de calquer, sur un espace vectoriel permettant le calcul, un espace dont l'origine aurait été « effacée « et dont tous les points jouiraient du même statut : c'est ce que réalise la définition d'un espace affine ! Mais rien n'empêche alors, si le besoin s'en fait sentir, de privilégier un point particulier d'un espace affine ; on dit qu'on a « vectorialisé « cet espace et il y a alors une correspondance bijective entre les points de l'espace affine et les vecteurs de l'espace vectoriel : les bases de o se calquent sur les repères de \, les applications linéaires de o se calquent sur les transformations affines de \ (ce sont des symétries, rotations, homothéties, similitudes...), et les résultats de calcul dans o traduisent les axiomes et les théorèmes de la géométrie d'Euclide rappelés plus haut. Inversement, les figures de \ se décalquent sur des sous-ensembles de o auxquels ils donnent naturellement leurs noms. Ainsi, une droite affine de l'espace vectoriel à deux dimensions u2 est un ensemble, d'équation ax + by + c = 0 ; de même, un plan affine de u3 est « parallèle « à un plan (vectoriel) qui passe par l'origine.