trigonométrie - mathématiques.

trigonométrie - mathématiques. 1 PRÉSENTATION trigonométrie, branche des mathématiques qui traite des relations entre les côtés et les angles des triangles, et des propriétés des fonctions trigonométriques. On distingue la trigonométrie plane, qui étudie les triangles du plan, et la trigonométrie sphérique, qui s'intéresse aux triangles situés sur la surface d'une sphère (triangles sphériques). Autrefois, la trigonométrie était essentiellement utilisée en navigation, en topographie et en astronomie, où elle servait notamment à calculer des distances non directement mesurables, telles que la largeur d'un grand lac ou la distance entre la Terre et la Lune. Aujourd'hui, on l'emploie dans tous les domaines de la physique, en particulier dans l'étude des phénomènes périodiques tels que les vibrations du son ou les courants alternatifs. Les fonctions trigonométriques jouent aussi un grand rôle en analyse mathématique. 2 HISTORIQUE C'est en Égypte et en Mésopotamie que naît la trigonométrie plus de deux mille ans avant notre ère. Elle y est, en effet, utilisée par les astronomes et les ingénieurs, notamment dans la construction des pyramides égyptiennes. Elle se développe ensuite chez les Grecs au IIe siècle av. J.-C., à l'initiative d'Hipparque d'Alexandrie qui calcule pour un angle donné la longueur de la corde sous-tendue. Trois cents ans plus tard, Ptolémée publie dans son manuel astronomique l'Almageste la première table trigonométrique de l'histoire, pour des angles compris entre 0° et 180°, par intervalle de 0,75°. Parallèlement aux travaux de Ptolémée, les Indiens élaborent un autre système trigonométrique qui introduit un paramètre se rapprochant du sinus actuel. S'inspirant des trigonométries grecque et indienne, les mathématiciens arabes définissent les six lignes trigonométriques à la fin du Xe siècle. Ces résultats, qui sont retranscrits par l'astronome Nasir al-Din al-Tusi dans son Traité du quadrilatère complet, ne seront connus des Européens qu'au XVe siècle, grâce à l'astronome et mathématicien allemand Regiomontanus. Un siècle plus tard, l'astronome allemand Rheticus définit le sinus sous sa forme actuelle et le mathématicien français Viète introduit les coordonnées polaires en trigonométrie sphérique. Au XVIIIe siècle, Euler établit les relations entre exponentielles complexes et fonctions trigonométriques, ces dernières pouvant être, dès lors, considérées comme des cas particuliers d'exponentielles (voir Complexes, nombres ; Exponentielle). 3 TRIGONOMÉTRIE PLANE 3.1 Définition d'un angle En trigonométrie, un angle représente une grandeur algébrique. Pour définir le signe d'un angle, considérons un angle orienté ayant pour côtés les segments [OA] et [OB] de la figure 1. L'angle peut être engendré par la rotation autour de O d'un segment mobile [OX] partant de la position [OA] pour finir dans la position [OB]. La mesure de l'angle est positive si la rotation du segment [OX] se fait dans le sens contraire à celui de la rotation des aiguilles d'une montre. Ce sens est appelé sens positif ou sens direct. Si la rotation s'effectue dans le sens des aiguilles d'une montre, nommé aussi sens rétrograde, l'angle est alors négatif (voir figure 2). Un angle se mesure généralement en degrés (symbole °) ou en radians (symbole rad). Lorsque l'unité n'est pas précisée, l'angle est exprimé en radians. Par exemple, un angle plat ? a pour mesure 180° ou p rad. Pour simplifier, on écrit ? = p. 3.2 Fonctions trigonométriques Les fonctions trigonométriques sont des fonctions qui dépendent de l'amplitude d'un angle. Considérons dans un plan muni d'un système de coordonnées cartésiennes un point P de coordonnées x et y, différent de l'origine O du repère. Définissons l'angle ? mesuré dans le sens direct comme étant l'angle compris entre la demi-droite des abscisses positives et la demi-droite [OP). Soit r la distance entre le point P et l'origine O. D'après le théorème de Pythagore, cette distance r est égale à Les quatre fonctions trigonométriques usuelles associées à l'angle ? sont : On montre facilement que ces quatre fonctions trigonométriques ne dépendent que de l'angle ? et non directement du choix du point P. On peut remarquer que ces fonctions trigonométriques sont périodiques, c'est-à-dire qu'elles reprennent les mêmes valeurs à intervalles réguliers appelés périodes. Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de périodes 2 p, c'est-à-dire que, pour tout entier relatif k (voir Nombres), cos (? + 2kp) = cos ? et sin (? + 2kp) = sin ?. Quant aux fonctions tangente et cotangente, elles sont périodiques de période p. Il faut noter également que la fonction tangente n'est pas définie pour x = 0, ni la fonction cotangente pour y = 0. En d'autres termes, la tangente n'est pas définie pour un angle de la forme p/2 + kp, ni la cotangente pour un angle de la forme kp, avec k entier relatif. En revanche, tout angle a un sinus et un cosinus car la distance r ne peut jamais être nulle. Comme r est supérieur ou égal à x et à y, sin ? et cos ? sont des réels compris entre - 1 et + 1, contrairement à tan ? et cotan ? qui peuvent prendre toutes les valeurs réelles. On peut déterminer facilement les valeurs numériques des fonctions trigonométriques de certains angles par des considérations géométriques. Le tableau ci-dessous récapitule les valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente de certains angles remarquables. 3.3 Identités trigonométriques Les formules suivantes, appelées identités, donnent les relations existant entre les différentes fonctions trigonométriques. Elles sont valables pour tout angle, dans la mesure où les fonctions employées sont définies. De nombreuses autres identités trigonométriques sont issues des identités fondamentales ci-dessus. 3.4 Fonctions réciproques L'affirmation « y est le sinus de ? « équivaut à dire que « ? est un angle dont le sinus est y «. Cette dernière proposition peut se traduire à l'aide du symbole arcsin : ? = arcsin y = sin-1 y. On définit de la même façon arccos y, arctan y, arccotan y. Ces symboles ne représentent pas des fonctions, car à une valeur donnée de y correspond une infinité de valeurs de ?. Par exemple, si ? = arcsin 1/2, ? peut être égal à 30°, 150°, 30° + 360° = 390°, etc. C'est pourquoi on définit plus précisément la fonction réciproque Arcsin (avec une majuscule) comme la valeur unique d'arcsin comprise dans l'intervalle [-p/2 ; p/2]. On définit de même les fonctions Arccos sur [0 ; p], Arctan sur ]-p/2 ; p/2[ et Arccotan sur ]0 ; p[. 3.5 Relations dans un triangle 3.5.1 Triangle rectangle Si ? est l'un des angles aigus d'un triangle rectangle, les définitions des fonctions trigonométriques données précédemment peuvent s'appliquer à l'angle ?. En effet, si le sommet A se confond avec l'origine O du repère (xOy), si [AC] est situé sur la partie positive de l'axe des x, et si B est assimilé au point P introduit plus haut tel que AB = AP = r, on peut donc écrire sin ? = y/r = a/c, et ainsi de suite. On aboutit alors aux relations ci-dessous : 3.5.2 Triangle quelconque Grâce à la trigonométrie, il est possible d'établir des relations entre les côtés et les angles d'un triangle, même non rectangle. Soient donc A, B, C, les trois angles d'un triangle quelconque et a, b, c, les côtés respectivement opposés à ces angles. On montre que : Dans la formule faisant intervenir le cosinus, on peut effectuer une permutation circulaire des lettres a, b, c, et A, B, C. Ces trois relations peuvent être utilisées pour déterminer les six éléments d'un triangle quelconque. En effet, on peut déterminer la longueur des côtés ou la mesure des angles inconnus lorsque l'on connaît un côté et deux angles, ou deux côtés et l'angle formé par ces côtés, ou deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux (on trouve en général deux triangles dans ce cas), ou bien les trois côtés. 4 TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE La trigonométrie sphérique, principalement utilisée en navigation et en astronomie, étudie les angles des triangles sphériques, triangles formés par des arcs de grands cercles d'une sphère. Comme le triangle plan, le triangle sphérique possède six éléments caractéristiques : trois côtés courbes a, b, c, et trois angles associés A, B, C. Les valeurs a, b, et c représentent dans ce cas des longueurs d'arcs et non de segments. L'angle A, opposé au côté a, correspond à l'angle qui a pour sommet le centre de la sphère et qui sous-tend le côté a. On définit de même les angles B et C. Pour déterminer les éléments caractéristiques d'un triangle sphérique, il suffit de connaître trois de ces éléments. Il existe un certain nombre de formules reliant tous ces paramètres entre eux, qui demeurent encore très employées en navigation et en astronomie de position. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.