triangle (géométrie) - mathématiques. 1 PRÉSENTATION triangle (géométrie), figure géométrique constituée de trois côtés. En géométrie plane euclidienne, les côtés sont des segments de droites (voir figure 1) limités par les sommets. En géométrie sphérique, les côtés sont des arcs de grands cercles, comme sur la figure 10. Le terme de triangle (dit alors curviligne) peut aussi désigner une figure géométrique à trois sommets, ayant pour côtés des courbes arbitraires, comme sur la figure 11. 2 TRIANGLES PLANS Un triangle du plan euclidien possède trois angles intérieurs (le terme intérieur est souvent omis), chacun formé par deux côtés adjacents, comme CÂB sur la figure 1, et six angles extérieurs, chacun formé par un côté et le prolongement d'un côté adjacent, comme FÊG sur la figure 2. On a coutume d'employer des majuscules pour désigner les sommets d'un triangle, l'angle correspondant à ce sommet ou la mesure de cet angle ; la lettre minuscule correspondante désigne le côté opposé au sommet ou sa longueur. On peut également désigner un côté, ou sa longueur, en nommant ses extrémités. Ainsi, sur la figure 1, le côté opposé au sommet A est a ou BC. 2.1 Définitions Un angle A est aigu si et seulement si 0° < A < 90°. L'angle est droit si et seulement si A = 90°. Enfin, l'angle A est obtus si et seulement si 90° < A < 180° (propriété dérivant du Ve postulat d'Euclide sur les parallèles). La somme des angles d'un triangle étant toujours égale à 180°, un triangle peut avoir au plus un angle de mesure supérieure ou égale à 90°. Un triangle est aigu si et seulement si tous ses angles le sont, comme le triangle de la figure 1. Un triangle est rectangle s'il a un angle droit (voir figure 3). Enfin, un triangle est obtus s'il possède un angle obtus (voir figure 2). 2.2 Triangles particuliers Un triangle est scalène s'il ne possède pas deux côtés de longueur égale (figure 1), isocèle s'il possède deux côtés de même longueur (sur la figure 4, le triangle est isocèle en N), et équilatéral si ses trois côtés sont de même longueur (figure 5). Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, ou côté le plus long. Ainsi, HK est l'hypoténuse du triangle de la figure 3. Voir Pythagore, théorème de. Si deux côtés d'un triangle sont de longueur inégale, les angles opposés sont de mesures inégales, le côté le plus grand étant le côté opposé à l'angle le plus grand. De même, si deux angles sont inégaux, les côtés opposés sont inégaux. Par conséquent, les trois angles d'un triangle scalène sont de mesures différentes ; les angles de base d'un triangle isocèle sont égaux, ainsi que les trois angles d'un triangle équilatéral (valant donc 60°). Le côté opposé à un angle droit ou à un angle obtus est le côté le plus long du triangle. Voir aussi Trigonométrie. 2.3 Droites particulières d'un triangle 2.3.1 Définitions Dans un triangle ABC quelconque, la hauteur issue du sommet A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Par exemple, dans le triangle de la figure 6a, la hauteur issue du sommet D est la droite (DX). Dans un triangle ABC, la médiane issue de A est la droite qui joint le milieu de [BC] au point A. Par exemple, dans le triangle ABC de la figure 7, (AN) est la médiane issue de A. La bissectrice intérieure issue de A est la droite qui passe par A et qui coupe l'angle BÂC en deux angles de même mesure. Par exemple, dans le triangle ABC de la figure 8, (AR) est la bissectrice de l'angle CÂB. De même, on définit la bissectrice extérieure (AW). Dans un triangle, la médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté qui passe par le milieu du côté considéré. C'est par exemple la droite (HK) sur la figure 9, K étant le milieu du segment [AB]. 2.3.2 Propriétés Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point appelé orthocentre du triangle (le point O sur les figures 6a et 6b). Les trois médianes se coupent en un point qui est le centre de gravité du triangle (le point M sur la figure 7). Le centre de gravité divise une médiane en deux segments ; le segment limité par un sommet est toujours deux fois plus long que l'autre. Les trois bissectrices intérieures se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle (point I sur la figure 8), c'est-à-dire du cercle tangent aux côtés du triangle. Les trois médiatrices sont concourantes en un point, centre du cercle circonscrit au triangle (point H sur la figure 9), ce cercle étant le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. 2.4 Aire d'un triangle Si a, b et c sont les trois côtés d'un triangle, et ha la hauteur issue du sommet A, alors l'aire K du triangle est donnée par la formule : K = yaha. Il existe de nombreuses autres formules dans lesquelles interviennent les différents éléments (côtés, angles, etc.) d'un triangle. 3 TRIANGLES SPHÉRIQUES Les triangles sphériques ont de nombreuses propriétés analogues à celles des triangles plans. Cependant, il existe entre ces deux types de triangles des différences non négligeables. Par exemple, la somme des angles d'un triangle sphérique varie de 180° à 540°, en fonction des dimensions et de la forme du triangle. Un triangle sphérique à un, deux ou trois angles droit(s) est appelé respectivement triangle rectangle, birectangle ou trirectangle. 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