topologie - mathématiques. 1 PRÉSENTATION topologie, étude des propriétés mathématiques invariantes par déformation géométrique ou par transformation continue des objets. Lorsqu'un espace est courbé, tordu, étiré, ou plus généralement déformé, certaines propriétés demeurent inchangées : c'est à ces dernières que s'intéresse la topologie. Par exemple, lorsque l'on déforme une feuille de papier sur laquelle on avait tracé un cercle, celui-ci se déforme également. Toutefois, si on ne déchire pas cette feuille, et si on ne fait pas coïncider deux points distincts (en pliant la feuille par exemple), on peut toujours définir l'intérieur et l'extérieur du cercle, concepts qui demeurent donc invariants par déformation. La géométrie s'intéresse à des notions comme la position absolue d'un point, la distance ou le parallélisme, qui changent avec la forme de l'espace considéré. À l'opposé, la topologie étudie des notions telles que les positions relatives des objets, ou leurs formes générales. Elle repose sur les notions fondamentales de continuité et de limite (voir fonctions ; infinitésimal, calcul). 2 ORIGINES On considère souvent que l'Analysis situs, ouvrage rédigé par Leibniz en 1679, marqua les débuts de la topologie. Mais le véritable fondateur de cette branche des mathématiques demeure Henri Poincaré, qui en inventa les outils entre 1894 et 1904. 3 NOTIONS 3.1 Homéomorphisme On dit que deux figures géométriques A et B sont homéomorphes s'il existe une correspondance continue qui associe à tout point de A un point et un seul de B, et si l'inverse de cette correspondance associe, de manière continue, à tout point de B un point et un seul de A. Une telle correspondance est appelée homéomorphisme. On peut également définir un homéomorphisme comme étant une application bijective et continue, dont l'inverse l'est aussi. Bien que relativement simple, cette notion est fondamentale en topologie moderne. 3.2 Théorie des noeuds La théorie des noeuds est connue comme l'une des théories les plus simples en apparence de la topologie actuelle, et pourtant elle suscite encore beaucoup d'interrogations sans réponse. Un noeud est une corde dont on a relié les deux extrémités, quelle que soit sa forme dans un espace à trois dimensions. Une corde emmêlée ou nouée, recollée par les deux bouts, constitue donc un noeud. On démontre que tout noeud est homéomorphe à un cercle. Deux noeuds sont dits équivalents si on peut obtenir l'un des noeuds à partir de l'autre par une déformation continue. Dans le cas contraire, on dit qu'ils sont distincts. Ainsi, tout noeud plan est équivalent au cercle, puisque pour superposer l'un à l'autre, il suffit de déformer le noeud, éventuellement en le rétrécissant ou en l'agrandissant, tout en gardant ses extrémités jointes. En revanche, il est facile d'imaginer un noeud dans l'espace qui soit toujours distinct du cercle, quelle que soit la déformation imposée (exceptée la coupure). 3.3 Théorie des surfaces La théorie des surfaces constitue une autre théorie majeure de la topologie. Une surface est définie par le fait que chacun de ses points possède un voisinage homéomorphe au disque fermé. Cette théorie permet l'étude formelle de surfaces élémentaires et de leurs déformations, comme la sphère ou le cylindre, mais aussi d'objets plus particuliers comme le fameux ruban de Möbius. Ce dernier est une surface qu'il est impossible d'orienter. En effet, si on trace une courbe fermée le long du ruban, et si on la parcourt en partant d'un point A, on ne revient pas en A du même côté de la surface. Autre phénomène surprenant : si on découpe le ruban de Möbius en deux le long d'une ligne tracée au milieu de sa largeur, on obtient un seul ruban. En revanche, si la ligne est au tiers de la largeur, on obtient deux rubans enlacés. 4 EXEMPLES 4.1 Ponts de Königsberg Le problème des ponts de Königsberg illustre clairement les questions abordées par la topologie à ses débuts. Il s'énonce ainsi : en considérant la figure 1, est-il possible de revenir à son point de départ, en passant une fois et une seule sur chacun des sept ponts enjambant la rivière ? Euler démontra que cette question équivaut à poser le problème suivant : est-il possible de tracer le graphe de la figure 2, sans lever le crayon de la feuille et sans passer deux fois sur le même côté ? Prouvant que c'est impossible, Euler démontra même un résultat plus général, en introduisant la notion de sommet impair comme étant l'extrémité d'un nombre impair d'arêtes : tout graphe linéaire fermé peut être dessiné d'un trait continu sans emprunter deux fois la même arête si, et seulement si, le graphe ne possède aucun sommet impair ou seulement deux sommets impairs. Ainsi, le graphe de la figure 2 comportant quatre sommets impairs, il ne peut donc pas être dessiné d'un trait continu sans passer deux fois par la même arête. En revanche, le graphe de la figure 3 possédant seulement deux sommets impairs (les sommets A et B), il est par conséquent possible de le tracer sans lever le crayon et sans repasser par la même arête. 4.2 Problème des couleurs La topologie est un domaine actif des mathématiques modernes. Ainsi, un célèbre problème posé au milieu du XIXe siècle a été résolu dans les années 1970. Il s'agissait de déterminer le nombre de couleurs nécessaires pour colorer une carte géographique ordinaire, de sorte que deux régions limitrophes ne soient jamais de la même couleur. En 1976, les Américains Kenneth Appel et Wolfgang Haken démontrèrent, à l'aide d'un ordinateur, que quatre couleurs suffisaient quels que soient la taille de la carte et le nombre de régions représentées. Ce résultat provoqua quelques remous parmi les mathématiciens de l'époque : certains considérèrent en effet la démonstration non valable, car obtenue au moyen d'une machine et non à partir d'un raisonnement logique. Voir démonstration mathématique. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.
