tangente (trigonométrie) - mathématiques. 1 PRÉSENTATION tangente (trigonométrie), fonction trigonométrique introduite en même temps que les fonctions sinus, cosinus et cotangente dans la définition de la mesure des angles en géométrie euclidienne. Les savants et astronomes babyloniens, ainsi que les mathématiciens de la Grèce antique, l'avaient déjà introduite dans leurs tables trigonométriques. L'utilisation et la définition de la notion de tangente ont évolué au rythme du développement des mathématiques dans différents contextes, qu'ils soient géométriques, analytiques ou algébriques. 2 GÉOMÉTRIE PURE Soient un triangle (ABC) rectangle en C, et ?, l'angle formé par les deux segments de droite [AC] et [AB] (voir figure ci-dessous) : La tangente de l'angle ?, notée tg ? ou tan ? , est égale au quotient de la longueur du côté opposé à l'angle par la longueur du côté adjacent à l'angle, d'où la relation : tg ? = CB / CA = côté opposé / côté adjacent À partir de cette relation et de celles établies pour le sinus et le cosinus, on déduit que le nombre tg ? est égal au quotient du sinus de l'angle par le cosinus de ce même angle (cos ? non nul), soit : tg ? = sin ? / cos ? 3 LOI DES TANGENTES La loi des tangentes est une formule démontrée par le mathématicien français François Viète, valable dans un triangle quelconque (ABC) et reliant les longueurs de deux côtés d'un triangle aux angles associés ; en notant a et b les angles respectifs entre les segments [AB] et [AC] puis [BA] et [BC], on a : 4 ANALYSE La notion trigonométrique de tangente s'est étendue au XIXe siècle à la fonction analytique réelle tg x, définie comme le rapport de la fonction sinus à la fonction cosinus, pour tout réel exprimé en radians, tel que cos x soit différent de zéro ; elle est donc définie sur tout le domaine D = / x ? (p/2 + kp), où k est un entier relatif de . C'est une fonction impaire et périodique, de période égale à p, d'où : tg (x + p) = tg x Elle est strictement croissante par partie sur tout intervalle ]kp/2, (k+1)p/2[. Sa fonction dérivée est donnée par : (tg x)' = 1/cos2 (x) = 1 + tg2 (x) La fonction tg est donc solution de toute équation différentielle de type : f'(x) = 1 + f2(x), où x est une variable réelle. La fonction, tg x tend vers moins l'infini lorsque x tend par valeur inférieure vers p/2, et vers plus l'infini lorsque x tend par valeur supérieure vers p/2, d'où les expressions des deux limites de la fonction tg : L'ensemble des primitives de la fonction tangente sont telles que : ?tg (x)dx = -lncos(x) + C où ln est la fonction logarithme népérien et C est une constante quelconque de . La réciproque de la fonction tangente est la fonction Arc tangente, notée Arc tg ou Arc tan. Sa définition stipule que, pour toute variable réelle x de l'ensemble de définition de la fonction tangente, tel que le réel y soit défini comme y = tg x, on a : x = Arc tg y. Lorsqu'il s'agit de mesures d'angles, x est usuellement exprimée en radians. 5 GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE La fonction tangente hyperbolique, notée th x, est une fonction strictement croissante sur l'ensemble des réels ; sa limite lorsque x tend vers moins l'infini est égale à - 1 ; elle est égale à + 1, lorsque x tend vers plus l'infini : Elle admet pour dérivée la fonction : (th x)' = 1 - th2 (x) = 1/ch2 (x) De plus, elle vérifie l'égalité suivante : th (ix) = 1/i tg x = - i cotg x où cotg est l'abréviation usuelle de la fonction cotangente, et i est l'imaginaire pur tel que i2 = - 1. La fonction réciproque de la fonction th est nommée argument de la tangente hyperbolique ; elle est notée Arg th. C'est une bijection de th y = x, autrement dit, si x = th y, alors y = Arg th x. On démontre aussi que : Sa dérivée est la fonction : Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés. sur ]- 1, 1[. Pour tout réel x tel que - 1 < x < 1, le nombre Arg th x est l'unique réel y non nul vérifiant
