suites et séries - mathématiques.

suites et séries - mathématiques. 1 PRÉSENTATION suites et séries, on définit une suite comme une succession ordonnée d'éléments pris dans un ensemble donné ; une série est la somme des termes d'une suite. Les suites et les séries occupent une place fondamentale dans les mathématiques modernes. Les travaux d'Abel, de Cauchy et de Gauss sur la convergence ont marqué, au début du XIXe siècle, l'étude des séries. Celle-ci ne se limite pas aux séries de nombres réels, mais s'applique aussi aux séries de nombres complexes, ou aux séries de fonctions. Les séries ont des applications dans de nombreux domaines scientifiques, comme l'électronique. 2 SUITES RÉELLES 2.1 Définitions Une suite réelle est une application d'une partie de l'ensemble des entiers naturels dans l'ensemble des réels . On définit une suite notée (un) par son terme général un, appelé aussi terme de rang n, et par son premier terme (on suppose ici que c'est u0). La suite est alors déterminée par une équation donnant un en fonction de n (par exemple, un = 2n + 1). Une suite peut être également définie par la valeur du premier terme et par une relation de récurrence, c'est-à-dire une relation liant plusieurs termes généraux de rangs différents. Un exemple de suite récurrente est la suite définie par u0 = 2, et un+1 = 2un - 6 pour tout n non nul. Une suite finie est une application d'une partie finie de dans . Elle possède donc un nombre fini de termes. Au contraire, une suite infinie est une application d'une partie infinie de (on prend généralement tout entier) dans . Par exemple, la suite de Fibonacci, dont les premiers termes sont 0 et 1, et dont les autres termes sont la somme des deux termes précédents, détermine la suite 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. Elle est infinie. 2.2 Caractéristiques Une suite est croissante si, pour tout entier n, un est supérieur ou égal à un-1. Elle est décroissante si, pour tout entier n, un est inférieur ou égal à un-1. Une suite est majorée s'il existe un réel M et un entier p tels que, pour tout entier n > p, un < M. Une suite est minorée s'il existe un réel m et un entier p tels que, pour tout entier n > p, un > m. Une suite à la fois majorée et minorée est une suite bornée. 2.3 Convergence Une suite (un) converge vers un réel l, si, pour tout réel strictement positif e, il existe un entier p tel que pour tout n > p, un - l <= e. l est alors appelée la limite de (un). Intuitivement, (un) converge vers l si, lorsque n augmente, un se rapproche de plus en plus de l. Par exemple, la suite définie par un = 1 / n et u0 = 1 converge vers 0. Si une suite ne converge vers aucun réel, on dit qu'elle est divergente. À partir de ces définitions, il est facile de démontrer qu'une suite convergente est forcément bornée à partir d'un certain rang. Dans certains cas, on peut aisément prouver qu'une suite est convergente à l'aide de certains critères. Soient trois suites (un), (vn) et (wn). Supposons que (vn) et (wn) convergent vers la même limite l. Si à partir d'un certain rang, on a pour tout n : wn <= un <= vn, alors (un) converge vers l. Par ailleurs, toute suite croissante et majorée est convergente. De même, toute suite décroissante et minorée est convergente. 2.4 Suites de Cauchy Une suite réelle est une suite de Cauchy si, pour tout réel e strictement positif, il existe un entier p tel que pour tous n et m supérieurs à p,un - um <= e. Intuitivement, cela signifie que plus les termes d'une suite de Cauchy sont de rang élevé, plus ils sont proches les uns des autres. Les suites de Cauchy occupent une place très importante dans l'analyse mathématique moderne. Toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy, et tout suite réelle de Cauchy est convergente, ce qui n'est plus vrai pour les suites de nombres complexes. 2.5 Suites récurrentes particulières Parmi les suites récurrentes, les suites arithmétiques et géométriques ont des propriétés remarquables. Une suite arithmétique, ou progression arithmétique, est une suite dont la différence entre deux termes successifs est constante. Une suite géométrique, ou progression géométrique, est une suite dont le rapport de deux termes successifs est constant. Pour illustrer ces définitions, prenons l'exemple d'un investissement financier. Considérons une somme d'argent de F francs, et un taux d'intérêt de 8 p. 100. Si les intérêts ne sont calculés que sur la somme initiale de F francs, la valeur de l'investissement atteint, au bout de n années, an = F + n (0,08) F francs. Si chaque année, les intérêts sont calculés sur la valeur actuelle de l'investissement, l'investissement initial atteint au bout de n années la valeur de gn = F (1,08)n francs. Dans le premier cas, on ajoute chaque année 0,08 F francs : (an) est une suite arithmétique. Dans le second cas, on multiplie chaque année la valeur de l'investissement par 1,08 : (gn) est une suite géométrique. Le terme général d'une suite arithmétique peut s'écrire : an = a0 + nr, où r est un nombre réel appelé raison de la suite (un). De même, le terme général d'une suite géométrique s'écrit : gn = g0qn, où le réel q est la raison de la suite (gn). 3 SÉRIES 3.1 Définition Soit (un) une suite définie sur l'ensemble des entiers naturels. On appelle série de terme général un la suite (Sn) définie par Sn = u0 + u1 +u2 + ... + un pour tout entier n. Les termes Sn sont les sommes partielles de rang n de la série. Une série étant une suite, toutes les définitions données ci-dessus s'appliquent. Si la série (Sn) converge, sa limite est appelée somme de la série. 3.2 Convergence Si, pour tout entier n, le terme général de la série (Sn) est positif, et si (Sn) est majorée, alors (Sn) converge. Soient rn et sn, les termes généraux positifs respectifs des séries (Rn) et (Sn). Supposons que pour tout entier n, rn soit inférieur à sn. Alors, si (Sn) converge, (Rn) converge ; et si (Rn) diverge, (Sn) diverge. 3.3 Séries particulières Il est facile de calculer les sommes partielles des séries dont le terme général est une suite arithmétique ou géométrique. Dans le premier cas, Sn = (n + 1) u0 +n (n + 1) r / 2. Dans le second, Sn = (n + 1) u0 si q est égal à 1, et Sn = u0 (1 qn+1) / (1 - q) si q est différent de 1. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.