suites

Première/Terminale SUITES F.Henry 1) Suite arithmétique de raison r 2) Suite géométrique de raison q Dé?nition : un+1 Dé?nition : un+1 = un + r , avec r constant = un × q, avec q constant Si (un) est une suite géométrique, Si (un) est une suite arithmétique, un = u 0 × q n si le premier terme est u0 un+1 = u1 × q n−1 si le premier terme est u1 un = u 0 + n r si le premier terme est u0 un = u1 + (n − 1)r si le premier terme est u1 n(n + 1) 1+ 2 + 3 + ...+ n = 2 1+ q + q 2 + ...+ q n = (u0 + un )(n + 1) 2 n u0 + u1 + u2 + ...+ un = ∑ uk = k=0 1− q n+1 1− q ? 1− q n+1 ? u0 + u1 + u2 + ...+ un = u0 ? ? 1− q ? ? 3) Suite récurrente Une suite est dite récurrente si un+1 Exemple: un+1 = f (un ) = 2un 2 − 3un + 5 4) Suite explicite Une suite est dite explicite si un+1 Exemple: un+1 = f (n) = 2n 2 − 3n + 5 Si la fonction f est croissante (resp. décroissante), la suite (un) est croissante (resp. décroissante). Attention! Ceci n’est pas vrai pour les suites récurrentes. 5) Variations d’une suite ?croissante :un+1 − un ≥ 0 ? ?décroissante :un+1 − un ≤ 0 ? majorée par M : ∀n ∈!, un ≤ M ? ?minorée par m : ∀n ∈!, un ≥ m 6) Raisonnement par récurrence (Terminale S) Procédons avec un exemple: « Démontrer par récurrence que pour tout n Posons Pn ∈ ?, 2n ≥ n + 1 » : 2n ≥ n + 1. Montrons alors par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ ? . Initialisation: Il s’agit de montrer que la propriété est vraie au premier rang. Montrons ici que P0 est vraie. 20 = 1 et 0 + 1 = 1, d on c 20 ≥ 0 + 1 Donc P0 est vraie. Hérédité: On suppose que la propriété est vraie au rang n et on montre qu’elle est alors vraie au rang (n+1). Première/Terminale SUITES F.Henry Supposons Pn vraie et montrons que Pn+1 l’est aussi (c’est-à-dire que 2n+1 ≥ n + 2) 2n ≥ n + 1 2n × 2 ≥ (n + 1) × 2 2n+1 ≥ 2n + 2 ≥ n + 2 Ainsi Pn+1 est vraie. Conclusion: On a donc montré que la propriété est vraie pour tout n dans ?. 6) Limites de suite (Terminale) lim (un + a) = lim un + a n→+∞ n→+∞ lim (un + vn ) = lim un + lim vn n→+∞ lim (un × vn ) = lim un × lim vn n→+∞ n→+∞ n→+∞ lim q n = + ∞ si q > 1 n→+∞ = 1 si q = 1 = 0 si 1 < q < 1 = pas de limite si q ≤ − 1 Si (un) est croissante et majorée, elle est convergente. Si (un) est décroissante et minorée, elle est convergente. n→+∞ lim n→+∞ n→+∞ lim n→+∞ un un = vn lim n→+∞ vn