soustraction - mathématiques.

soustraction - mathématiques. 1 PRÉSENTATION soustraction (mathématiques), opération élémentaire de l'arithmétique, symbolisée par le signe - (« moins «). 2 PROPRIÉTÉS Contrairement à l'addition, la soustraction n'est pas une opération commutative. En effet, pour deux nombres x et y quelconques, x - y est différent de y - x, et, en fait, on a : x - y = - (y - x). 3 SOUSTRACTION D'ENTIERS NATURELS La soustraction permet de retrancher facilement à un nombre entier, ou entier naturel (voir nombres), un ou plusieurs autres entiers. Prenons l'exemple du nombre 66 auquel on désire ôter 23. Pour effectuer cette opération, on pourrait soustraire 23 à 66 en comptant à rebours 23 fois, jusqu'à 43, mais il est bien plus simple d'utiliser les règles de la soustraction, qui permettent d'obtenir la réponse plus rapidement. Selon cette méthode, on commence par aligner les nombres en colonnes, unités sous unités, et dizaines sous dizaines. Puis, on effectue la soustraction proprement dite, d'abord des unités, ensuite des dizaines : La soustraction s'avère plus complexe lorsque les chiffres du bas de certaines colonnes sont plus grands que les chiffres du haut correspondants. On résout alors cette difficulté en effectuant une retenue comme dans le cas de l'addition. Par exemple, pour retrancher 46 à 92, comme 2 est inférieur à 6, on pose 1 dans la colonne des unités en haut à gauche du chiffre 2. On effectue alors 12 - 6 = 6, résultat à indiquer dans la colonne des unités, sous la barre horizontale. Puisque l'on a utilisé la retenue 1, il faut par conséquent retirer une dizaine au nombre à soustraire. On barre donc le 4 de 46 en le remplaçant par un 5 (4 + 1 = 5), puis on effectue la soustraction des dizaines : 9 - 5 = 4. On obtient ainsi le résultat suivant : 4 SOUSTRACTION D'ENTIERS RELATIFS Dans l'ensemble des entiers naturels, la soustraction n'est possible que si le nombre à retrancher est plus petit que le nombre auquel on le retranche. Pour rendre possible cette opération quand le nombre à soustraire est plus grand que le nombre auquel on le soustrait, il est nécessaire d'introduire la notion de nombre négatif. Pour en donner une représentation visuelle concrète, on peut classer les entiers positifs sur une droite dans l'ordre croissant de gauche à droite. On obtient les nombres négatifs en s'éloignant de 0 dans la direction opposée. La droite des nombres ci-dessous représente à la fois les entiers positifs et les entiers négatifs : Par convention, un nombre non précédé d'un signe est un nombre positif. Pour effectuer une soustraction d'entiers relatifs, on applique la règle suivante : soustraire un nombre revient en fait à ajouter l'opposé de ce nombre. En suivant cette méthode, il suffit alors d'appliquer les règles de l'addition entre entiers relatifs. Ainsi, on a : Autre exemple : 5 SOUSTRACTION DE FRACTIONS On dit que q est une fraction ou un nombre rationnel s'il existe deux entiers p et n, n étant non nul, tels que : p est appelé le numérateur de la fraction, et n le dénominateur. Lorsque l'on procède à la soustraction de deux fractions, deux cas peuvent se présenter, selon que les fractions possèdent ou non le même dénominateur. Si les deux fractions ont le même dénominateur, leur différence est égale à la fraction ayant pour numérateur la différence des numérateurs des deux fractions, et pour dénominateur le dénominateur commun aux deux fractions initiales. Ainsi, Cette manière de procéder peut s'appliquer à une soustraction faisant intervenir plus de deux fractions, à condition que celles-ci possèdent toutes le même dénominateur. Lorsque les dénominateurs des fractions sont différents, il faut alors transformer ces fractions en fractions équivalentes, de manière à obtenir des fractions ayant un dénominateur commun. Pour déterminer le plus petit dénominateur commun à plusieurs fractions, on calcule le plus petit commun multiple (PPCM) de leurs dénominateurs (voir arithmétique). Considérons l'expression 7/10 - 3/5, où les fractions ont des dénominateurs différents. Ayant calculé le PPCM de 10 et 5, qui est égal à 10, on remplace alors les fractions 7/10 et 3/5 par des fractions équivalentes de dénominateur égal à 10. Puisqu'il est possible de multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre sans en changer la valeur, on peut donc écrire : On peut alors calculer la différence des deux fractions obtenues : 6 SOUSTRACTION DE NOMBRES DÉCIMAUX Dans le système décimal, comme les chiffres situés de part et d'autre de la virgule représentent des puissances de dix, la soustraction des nombres décimaux s'effectue de manière similaire à celle des entiers naturels. Lorsque l'on pose l'opération, il suffit de placer les virgules des nombres concernés les unes sous les autres, de façon à positionner les dizaines sous les dizaines, les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, et ainsi de suite. Par cette technique, on s'assure qu'à chaque étape toute valeur est soustraite à une valeur de même rang. Par exemple, pour retrancher 32,4 à 365,289, on pose d'abord la soustraction : On effectue ensuite l'opération afin d'obtenir : L'ajout de zéros après 32,4 ne change pas la valeur du nombre, mais permet de placer les chiffres de même rang (dixièmes, centièmes, etc.) les uns en dessous des autres. Dans le cas présent, on a introduit une retenue qui fonctionne de la même manière que dans le cas d'une soustraction d'entiers naturels. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.