rappels proba 1ere et seconde

PROBABILITÉS I UN EXEMPLE : LE PROBLÈME DU DUC DE TOSCANE II DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES 1 EXPÉRIENCE ALÉATOIRE – LOI DE PROBABILITÉ Définition 1 ? Une expérience aléatoire est une expérience dont on peut prévoir quels sont les résultats possibles, encore appelés éventualités ou issues, mais dont on ignore lequel sera réalisé avant que l’expérience ne soit faite. ? L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble formé de toutes les issues. (l’univers est souvent noté Ω) ? Un événement est une propriété. C’est aussi l’ensemble des issues qui vérifient cette propriété. ? Un événement est donc une partie de l’univers. ? On dit qu’un événement A est réalisé lorsque le résultat de l’expérience est une issue (ou éventualité) de A. ? Un événement élémentaire est un événement formé d’une unique éventualité (ou issue). Exemple 1 On lance deux dés à six faces numérotées 1 à 6. L’univers, Ω, est formé de 36 issues possibles. Ω = {(1;1), (1;2)…………(6;6)} On peut le représenter par un tableau à double-entré. Si A est l’événement « les numéros sont pairs » , alors on a A = ?(2,2) ; (2,4) ; (2,6) ;............(6,6)? Si D est l’événement « la somme est stt inférieure à 5 », D = ?(1,1); (2,1); (2,2); (1,2); (3,1); (1,3)? Si l’issue est (2,4) A est réalisé et D ne l’est pas. Définition 2 Loi de probabilité. Probabilité d’un événement. On considère un univers Ω lié à une expérience aléatoire. Ω = {x1, x2, ……xn} ? Définir une probabilité ou une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque éventualité (ou issue) xi un réel positif pi de sorte que p1 + p2 + …+ pn = 1. x1 x2 …. … xn p1 p2 … …. pn ? La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le composent : P(A) = ?p xi ? A i Vulgairement : c’est un « pourcentage de chance » que l’issue ou l’événement se réalise. Exemple 2 On considère un dé à six faces truqué tel qu’on ait une chance sur deux de sortir le 6 et les autres faces sont équiprobables. La probabilité sur Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } est alors définie par : p1 = p2 = p3 = p4 = p5 donc 5 p1 + p6 = 1 or p6 = 0,5 donc p1 = (1- 0,5)/5 = 0,1 On obtient finalement : issue( xi) 1 2 3 4 5 6 pi 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,5 Et P( « le résultat est pair ») = p2 + p4 + p6 = 0,1+ 0,1+0,5 = 0,7 Propriété 1 2. ? La probabilité d’un événement A est un réel compris entre 0 et 1. 0 ? P(A) ? 1 ? Ø est l’événement impossible. P(Ø) = 0. ? Ω est l’événement certain. P(Ω) = 1. ÉQUIPROBABILITÉ Définition 3 Lorsque tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, on dit que l’on est en situation d’équiprobabilité. Propriété 3 Lorsqu’on est en situation d’équiprobabilité et que le nombre d’éléments de Ω est n ( on note card(Ω) = n ), alors : ? la probabilité de chaque événement élémentaire est 1 n ? pour tout événement A, p(A) = = card ( A) card (?) ( k « nombre de cas favorables à A » sur n « nombre de cas possibles ») Re- Exemple 1 : On lance deux dés à six faces numérotées 1 à 6. L’univers, Ω, est formé de 36 résultats possibles. card(Ω) = 36 Ω = ? (1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; ........(5,6) ; (6,6)? Soit B l’événement « la somme est stt inférieure à 5 » P(B) = 3. . REPRÉSENTATION D’ÉVÉNEMENTS À L’AIDE D’ENSEMBLES Définition 4 La réunion des événements A et B est A B, l’ensemble des issues appartenant à A ou à B Propriété 4: Preuve : L’intersection des événements A et B est A B, l’ensemble des issues appartenant simultanément à A et à B . lorsque A ? B =Ø on dit que A et B sont disjoints ou incompatibles. Si A et B sont deux événements quelconques : P( A ? B )= P(A)+P(B) – P( A ? B ) Si A et B sont deux événements incompatibles : P( A ? B )= P(A)+P(B) dans le calcul de P(A) + P(B) les pi des éveError: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file ntualités xi de A B sont comptés deux fois, ils faut donc les retrancher c'est-à-dire retrancher P( A ? B ). Définition -Pté 5 L’événement contraire de A (ou complémentaire de A), noté est l’ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A. P( A ) = 1- P(A) Re- Exemple 1 : Soit On lance deux dés à six faces numérotées 1 à 6. L’univers, Ω, est formé de 36 résultats possibles. card(Ω) = 36 Ω = ? (1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; ........(5,6) ; (6,6)? A : « le premier dé est un 6 » et B : « le deuxième dé est un 6 » 2. Compléter le tableau à double-entré cijoint représentant l’univers Ω : 2 3 4 1 1. Préciser en français les évènements suivants : A B, A B et A . Calculer les probabilités de A, B, A B, A B et A (pour ces deux dernières utiliser les propriétés 4 et 5) . 1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) 2 (2;1) (2;2) 3 (3;1) 4 (4;1) 5 (5;1) 6 5 (6;1) 1. A B est : « A B est : « A est : « P(A) = P(B) = P(A B) = P(A B) = P( A ) = 3. Soit D est l’événement « la somme est stt inférieure à 5 ». Calculer la probabilité de D, en utilisant le tableau. Préciser en français l’évènement D . Calculer la probabilité de D (en utilisant une propriété). P(D) = D est : « P( D ) = 4. Soit C : « obtenir au moins un 6 ». Calculer la probabilité de C, en utilisant le tableau. a) Préciser en français l’évènement C . Calculer la probabilité de C (en utilisant une propriété). b) Exprimer C en fonction de A et B. Exprimer C en fonction de A et B puis de A et B . (utiliser le schéma ci-contre). 6 4 ESPÉRANCE, VARIANCE ET ECART TYPE Définition 5 Espérance d’une loi de probabilité. On considère un univers Ω lié à une expérience aléatoire où les issues x1, x2, x3….sont des réels. Ω = {x1, x2, ……xn} x1 p1 ? L’espérance de la loi de probabilité …. … x2 p2 … …. xn pn est le n ? = p1x1 + p2x2 + …..+………. pnxn = ? pi xi réel noté ? (ou parfois E) tel que : i ?1 C’est la moyenne des xi pondérée par les pi. Exemple 3 : On lance deux dés à quatre faces numérotées 1 à 4. On s’intéresse à la somme des deux dés tétraédriques. La loi associé à cette expérience aléatoire est : xi pi 2 1/16 3 4 5 6 7 8 2/16 3/16 1 2 3 4 3 2 1 L’espérance de cette loi est ? = ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 = 5. 16 16 16 16 16 16 16 Signification : si on répète un grand nombre de fois cette expérience aléatoire ( lancer les deux dés tétraédriques) et qu’on note à chaque fois la somme obtenue, on obtiendra en moyenne une valeur qui sera proche de 5. ? est une moyenne théorique Remarque : dans cet exemple si on considère que Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} la loi n’est pas équirépartie sur Ω. Remarque : Plus l’échantillon est grand, plus la moyenne empirique se rapproche de ? la moyenne théorique Définition 6 Variance et écart type d’une loi de probabilité. Avec les notations précédentes ? La variance de la loi de probabilité est le réel V défini par : V = p1(x1-μ)2 + p2 (x2 -μ)2+ …..+……….+ pn (xn –μ)2 ? L’écart type est alors la racine carrée de la variance. : ? ? V Remarque : La variance est la moyenne des écarts à l’espérance . Re-exemple 3: La variance de cette loi est V = 1 16 L’écart type est alors ? ? V ? ? (2 ? 5) 2 ? 5 2 2 16 ? (3 ? 5) 2 ? 3 16 ? (4 ? 5) 2 ? ........ = 5/2. 5 VARIABLES ALEATOIRES Définition 7 : Variable aléatoire. Une variable aléatoire sur un univers Ω = {x1, x2, ……xn} est une fonction T définie sur Ω et a valeur dans . T(Ω) ={ t1, t2, …..tk} est l’ensemble des images par T de toutes les éventualités de Ω (on a k ≤ n). On note ( T= ti ) l’événement constitué de toutes les issues qui ont pour image ti par T. Reexemple 3: On lance deux dés à quatre faces numérotées 1 à 4. On s’intéresse à la somme des deux dés tétraédriques. Si la somme est paire le joueur gagne 1 € sinon il perd 1 €. Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Error: Mismatch between font type and embedded font file Sur Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} on défini la variable aléatoire T telle que T(3) = -1, T(2) = +1…… La loi de T est alors -1 +1 pi=P(T=ti) En effet : ti = 1/2 1/2 P(T = -1) = P(la somme est 3) +P(la somme est 5)+ P(…est 7) = 2/16+ 2/16+ 2/16 = 8/16 = 1/2 Et P(T = +1) = P( ) = 1- P(T = -1) = 1/2 On peut alors définir l’espérance, la variance et l’écart type de T que l’on note E(T), V(T), (T) : l’espérance de gain est E(T) = 0,5.(-1) + 0.5.(+1) = 0 la variance est V(T) = 0,5.(-1-0)2 + 0.5.(+1-0)2 = 1 l’écart type est (T) =1 Remarque : lors de l’étude de jeu d’argent on définit souvent une variable « gain algébrique » comme la différence entre l’argent reçu et l’argent perdu. Si l’espérance de gain est nulle le jeu est dit équitable ( au sens mathématique et au sens commun). Remarque : Définir une variable aléatoire revient dans le fond à définir un nouvel univers { t1, t2, …..tk} et sur ce nouvel univers une nouvelle probabilité. Le plus important dans ce paragraphe est de comprendre l’exemple précédent. On va toutefois définir loi et espérance de v.a. Définition 8 Loi d’une variable, espérance……. Soit T une variable aléatoire prenant les valeurs { t1, t2, …..tk} ? La loi de T est alors T pi t1 p1= P(T=t1) t2 p2= P(T=t2) …. … … …. tn pn On peut alors définir l’espérance, la variance et l’écart type de T que l’on note E(T), V(T), (T) III. EXPERIENCES ALEATOIRES INDEPENDANTES. 1. REPETITION D'EXPERIENCES IDENTIQUES ET INDEPENDANTES Définition : Des expérience aléatoires sont indépendantes (au sens mathématique) lorsque les résultats de chacune d’elles est indépendant ( au sens commun) des résultats des autres. Propriété : Lorsque plusieurs expériences aléatoires sont indépendantes, la probabilité de réalisation d’une liste de résultats, de chacune d’elles est égale au produit des probabilités de chaque résultat. Re- exemple : On lance deux dés à six faces. Ceci revient à considérer deux exp.a. indépendantes : ? Lancer le 1er dé puis lancer le 2ème dé. ? P((2,4)) = P(obtenir 2 au 1er dé ).P(obtenir 4 au 2ème dé) = (1/6)(1/6) = 1/36 exemple : On lance une pièce 10 fois de suite. Quelle est la probabilité de A : « obtenir au moins une fois Pile »? On peut schématiser cette expérience aléatoire par un arbre de probabilité : Conséquence Dans le cas d' une expérience de façon identique et indépendante, représentée par un arbre de probabilité ? la probabilité d’une liste est égale au produit des probabilités de chaque résultat. ? la probabilité d’un évènement M est égale à la somme des produits des probabilités des branches qui y conduisent. 2. UNE LOI DISCRÈTE: LA LOI BINOMIALE a. cas général : Schéma de Bernoulli et loi binomiale Définition 1 : épreuve de Bernoulli On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux issues : Un succès S réalisé avec la probabilité p. Un échec E = S réalisé avec la probabilité q = 1 - p. Définition 2: propriété : (preuve en exercice) Soit X la variable aléatoire égale à 1 en cas de succès et à 0 sinon. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. 1. La loi de X est alors: 2. E(X) = p et V(X) = pq xi = Pi = P(X= xi) 0 +1 q p Définition 3 : schéma de Bernoulli. Loi binomiale On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli. On appelle loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n;p) la loi de la variable aléatoire X égale au nombre de succès obtenus sur les n répétitions. Propriété 2 : Soit X une v.a. suivant une loi binomiale de paramètres n et p. ?n? 1. pour tout k ∈ IN tel que 0 ≤ k ≤ n , P(X = k) = ? ? p k q n ? k . ?k ? 2. E(X) = np et V(X) = npq (admises) Preuve : 1. (X = k) est la réunion disjointe des listes de E et de S où S apparait exactement k fois. ( exemple: (S1; S2;…….. Sk; Ek+1;…….. En). La probabilité d'une telle liste est [P(S)]k [P(E)]n-k = p k q n ?k car chaque épreuve est indépendante des autres. ?n? Il y a ? ? listes constituées d'exactement k succès( c'est le nombre de façon de choisir la place des ?k ? k succès parmi les n épreuves). (X=0), (X=1), ……(X=n), forment une partition de l'univers. n n ? n ? k n?k n P( X ? k ) = et P(X=0) + P(X=1)………….+ P(X=n) = = ? p ? q ? = 1n = 1 ( ouf!!) ? ?p q k? k ?0 ? k ?0 b. Exemple. Aziz et Benoit jouent au tennis. Remarque: ? Ils décident de jouer 4 matchs pendant les vacances. La probabilité que Benoit gagne un match est de 0,4. Les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres. A la fin de chaque match le perdant verse 10 euros dans une cagnotte avec laquelle à la fin des vacances ils se payeront un repas. répondre aux questions suivantes ( on pourra s'aider d'un arbre): ? a) Quelle est la probabilité que Benoit ne gagne qu'une seule fois? b) Quelle est la probabilité que Benoit gagne au moins une fois? c) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de matchs gagnés par Benoit et Y la variable aléatoire égale à la dépense de Benoit. Déterminer la loi de X et de Y. d) Quelle est l'espérance de dépense de Benoit. e) quelle est la probabilité que B gagne 2 fois exactement.