Produit Scalaire

Produit Scalaire : I) Produits scalaire de 2 vecteurs : 1) Cas de 2 vecteurs quelconques : Propriété : Soit et deux vecteurs non nuls du plan tels que et . H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). On a : 2) Vecteurs orthogonaux : Def : 2 vecteurs orthogonaux signifient que =0 ou =0 Théorème : Dire que 2 vecteurs sont orthogonaux équivaux à dire II) Autres expressions du produit scalaire : 1) Utilisation de l'angle : Théorème : Démonstration : 2) Propriété du produit scalaire : - - Propriétés : Pour tous vecteurs , et , on a : 1) 2) , avec k un nombre réel. 3) Expression du produit scalaire en fonction des normes : Propriétés : Pour tous vecteurs et , on a : 1) 2) 3) et Démonstration : III) Expression analytique de produit scalaire : 1) Expression du produit scalaire dans un repère analytique : Propriété : Soit et deux vecteurs de coordonnées respectives et . On a : . Rq: Si c'est à dire = condition analytique d'orthogonalité 2)Conséquence : Det Rq : Si le det=0 alors on retrouve la condition analytique de colinéarité Théorème : Soit et on obtient : Toute droite ayant une équation cartésienne de forme a pour vecteur normal et pour vecteur directeur Toute droite ayant pour équation a pour vecteur directeur et pour vecteur normal Distance d'une droite à une point : Droites orthogonales : 1er cas : D: D': D est perpendiculaire à D' SSI 2éme cas : D D' V) Le cercle : Equation cartésienne d'1 cercle avec son centre et son rayon : Propriété : Un cercle de centre et de rayon R a pour équation cartésienne La forme développée de l'équation est :