plane, géométrie - mathématiques. 1 PRÉSENTATION plane, géométrie ou géométrie euclidienne, branche de la géométrie qui étudie les propriétés des droites, des surfaces et des figures planes, telles que le triangle, le cercle, les coniques, etc. 2 HISTORIQUE L'origine de la géométrie plane remonte aux Babyloniens et Égyptiens (2 000 ans av. J.-C.). Elle est née des exigences de la vie pratique : agriculture, architecture, fabrication d'outils, etc. La civilisation grecque est l'héritière de la géométrie égyptienne. Celle-ci devient de plus en plus déductive, les propriétés sont démontrées. Thalès, Pythagore, Archimède, mais surtout Euclide sont quelques-uns des grands noms de la géométrie grecque. L'oeuvre principale d'Euclide (IIIe siècle av. J.-C.), Éléments, constitue la base de tous les développements ultérieurs jusqu'à l'avènement de la géométrie non euclidienne au XIXe siècle. C'est la raison pour laquelle la géométrie plane est souvent appelée géométrie euclidienne. En Occident, une longue période de stagnation suit la décadence de la civilisation grecque. Des avancées s'accomplissent cependant en Orient et au Moyen-Orient. Les Arabes, notamment, traduisent les oeuvres grecques et font progresser les calculs d'aires, de volumes et la trigonométrie. Ce n'est qu'à partir du XVIIIe siècle, où l'on s'attache à la rigueur mathématique, que les critiques de la construction euclidienne se multiplient. Le sentiment général est qu'en complétant convenablement les bases des raisonnements, on arrivera à un exposé entièrement satisfaisant. Ce travail de précision de l'axiomatique d'Euclide, dont les principaux contributeurs sont les mathématiciens Moritz Pasch, Giuseppe Peano et surtout David Hilbert, donne naissance à la fin du XIXe siècle à des approches variées et complémentaires de la géométrie euclidienne. 3 PRINCIPAUX OBJETS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE La géométrie plane définit des objets élémentaires, des abstractions idéalisées qui approchent des objets réels. Les objets suivants sont les principaux objets de la géométrie plane : -- le point est l'objet géométrique le plus élémentaire. Il n'a aucune dimension ; on dit qu'il est infiniment petit (on peut l'imaginer comme la pointe d'une aiguille). Il peut également être défini comme le point d'intersection de deux droites. En géométrie, on à l'habitude de nommer un point par une lettre majuscule (par exemple, le point A) ; -- la droite est représentée par un trait droit. L'objet idéal « droite « est une ligne continue dans une direction fixée, sans saut ni interruption, sans début ni fin, formée par la succession d'une infinité de points alignés. Elle est ainsi le plus court chemin entre deux de ses points. Par ailleurs, connaissant deux points A et B, la droite (AB) est la seule droite passant par ces deux points ; -- le segment de droite est une portion de droite comprise entre deux points de la droite. Par conséquent, un segment de droite a une longueur finie. Un segment de droite se note entre crochets : par exemple, le segment de droite entre les points A et B de la droite (AB) se note [AB] ; -- la demi-droite est une portion de droite considérée à partir d'un point de la droite appelé origine. Par exemple, la demi-droite passant par les points A (point d'origine) et B démarre en A et se prolonge indéfiniment au-delà de B ; elle est notée [AB) ; -- les polygones sont des figures fermées, composées de plusieurs segments de droite. Un polygone régulier est un polygone convexe, inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont même longueur. Le triangle, composé de trois segments, est le polygone le plus simple. Un quadrilatère est un polygone composé de quatre côtés. Le trapèze, le parallélogramme, le losange, le rectangle et le carré sont des quadrilatères particuliers ; -- le cercle est l'ensemble des points situés à égale distance d'un point fixe appelé centre du cercle ; -- les courbes sont des ensembles continus de points d'épaisseur nulle, dont la direction change progressivement sans former aucun angle ; -- les coniques sont des courbes particulières obtenues par l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan. Elles comprennent l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. 4 CINQ POSTULATS À LA BASE DE LA GÉOMÉTRIE PLANE Dans son ouvrage les Éléments, Euclide formule cinq postulats qui constituent la base de la géométrie plane. Tous les théorèmes de géométrie peuvent être déduits de ces postulats : 1. Étant donné deux points, on peut construire une droite passant par ces deux points. 2. Tout segment peut être prolongé indéfiniment, selon sa direction, en une droite infinie. 3. Étant donné deux points A et B, on peut construire un cercle de centre A passant par B. 4. Tous les angles droits sont égaux entre eux. 5. Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée. Les controverses déclenchées par ce dernier postulat sont à l'origine du développement de la géométrie non euclidienne. La géométrie euclidienne est la première théorie axiomatique digne de ce nom. À partir de ces axiomes et de théorèmes démontrés à partir de ceux-ci, Euclide a réuni l'ensemble des connaissances géométriques de son temps. À ce titre, la géométrie euclidienne est une référence dans l'histoire des mathématiques et de la philosophie car elle représente l'idéal de perfection du raisonnement. Blaise Pascal appelait la logique « l'esprit géométrique «. Théorie idéalisée, elle a pourtant de nombreuses applications directes dans la vie de tous les jours (tracé de plans, calcul d'aires, etc.), en ingénierie (description de pièces ou d'assemblages), en physique (notamment en mécanique et en optique géométrique). Elle constitue également le point de départ des autres branches de la géométrie. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.
