médiane (géométrie) - mathématiques.

médiane (géométrie) - mathématiques. 1 PRÉSENTATION médiane (géométrie), droite introduite par les mathématiciens grecs de la haute Antiquité, principalement associée à la géométrie du triangle, mais également à d'autres figures géométriques, tels les quadrilatères et les tétraèdres ( voir polyèdre). 2 MÉDIANE D'UN TRIANGLE On désigne par médiane d'un triangle quelconque la droite qui passe par un de ses sommets et par le milieu du côté qui lui est opposé. Dans le cas particulier d'un triangle équilatéral, les médianes sont confondues avec les médiatrices du triangle, ainsi qu'avec ses hauteurs. Les trois médianes d'un triangle quelconque concourent en un point situé au deux tiers du segment porté par chaque médiane en partant du sommet. Ce point est nommé isobarycentre du triangle ; c'est également le centre de gravité du triangle, si la même masse est attribuée à chaque sommet. 3 THÉORÈME DE LA MÉDIANE Le théorème de la médiane est une relation algébrique reliant la longueur du segment porté par une médiane d'un triangle quelconque aux longueurs des trois côtés du triangle. En notant I le milieu d'un côté [BC] d'un triangle quelconque ABC, le théorème de la médiane énonce que la longueur du segment [AI] porté par la médiane issue de A, vérifie l'égalité : AB2 + AC2 = 2 AI2 + y BC2 4 MÉDIANE D'UN QUADRILATÈRE ET D'UN TÉTRAÈDRE Les médianes apparaissent également dans l'étude du quadrilatère, polygone à quatre côtés. Les médianes d'un quadrilatère désignent les droites joignant les milieux de deux côtés opposés. Si les côtés du quadrilatère sont deux à deux parallèles, la figure géométrique est un parallélogramme et les médianes se coupent en leur milieu, au centre du parallélogramme. Dans un rectangle, les côtés se coupent à angles droits, et les médianes sont perpendiculaires entre elles et confondues avec les médiatrices. Les segments portés par les médianes d'un carré sont de même longueur. Le tétraèdre est une figure géométrique à trois dimensions possédant quatre sommets : c'est une pyramide admettant six arêtes et quatre faces triangulaires. On désigne par médiane d'un tétraèdre toute droite issue d'un sommet passant par l'isobarycentre du triangle opposé. Comme pour le triangle du plan, les médianes du tétraèdre sont concourantes en un point nommé barycentre. Ses hauteurs, en revanche, ne le sont pas en général. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.