logique mathématique - mathématiques.

logique mathématique - mathématiques. 1 PRÉSENTATION logique mathématique, science qui étudie les raisonnements, les concepts et les valeurs de vérité des propositions. Cette science, qui est à la base de la formalisation des différents domaines mathématiques, ne s'intéresse pas au contenu des objets étudiés mais à leur structure formelle. On sait maintenant que certains problèmes mathématiques ne peuvent être résolus par de simples méthodes de calcul. La logique mathématique s'avère alors indispensable. 2 DIVERSITÉ DES THÉORIES Bien que la logique au sens large ait été théorisée dès l'Antiquité, notamment par Aristote, c'est au XIXe siècle, grâce aux travaux de George Boole, qu'apparaissent les premiers éléments significatifs de la logique mathématique, qui constituent les fondements du calcul propositionnel. Ayant étudié ce dernier, Frege présente en 1879 la théorie des quantificateurs, notations symboliques utilisées en logique mathématique. Au XXe siècle, la logique mathématique a été amplement explorée et complétée par la théorie des ensembles, celle de la démonstration, celle des modèles (qui généralise le calcul des prédicats), ou encore par l'intuitionnisme. Cette variété des théories montre que la logique mathématique est, encore aujourd'hui, loin d'être une science parfaitement arrêtée. 3 FORMALISATION On formalise un domaine mathématique en définissant un cadre, des objets spécifiques, une série de symboles, une liste d'axiomes, et un ensemble de règles permettant de construire des formules et des raisonnements déductifs. Ainsi, dans le cas de l'arithmétique, le cadre est l'ensemble des entiers, ces derniers étant les objets étudiés. Parmi les symboles utilisés, on emploie les symboles « + « et « × «. Un des axiomes régissant l'ensemble des entiers s'énonce ainsi : pour tout entier x, x + 0 = x. 4 CALCUL PROPOSITIONNEL On associe au calcul propositionnel un système formel constitué de variables appelées propositions, et de deux connecteurs « de ces symboles, on peut écrire les trois formules élémentaires : P, non P, et P « et « non «. Le symbole « « signifie « si..., alors...«, tandis que « non « est la négation d'une proposition. À l'aide Q, où P et Q sont deux propositions. Considérons, par exemple, que la proposition P correspond à l'affirmation « il fait jour «. Alors non P est égal à la proposition « il fait nuit «. Appelons Q la proposition « il fait nuit «. « S'il fait jour, alors il ne fait pas nuit « se traduit donc par P non Q. On appelle formule une combinaison de ces trois formules élémentaires. Le système formel du calcul propositionnel est également constitué d'une suite d'axiomes, qui permettent de dire si une formule est un théorème, c'est-à-dire une combinaison plus ou moins complexe d'axiomes. Un théorème est donc par définition toujours vrai. On introduit aussi dans le calcul propositionnel des connecteurs comme et et ou. Le calcul propositionnel constitue aujourd'hui l'une des bases du développement de l'informatique théorique. Voir aussi Boole, algèbre de ; Logique. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.