linéaire, algèbre - mathématiques.

linéaire, algèbre - mathématiques. 1 PRÉSENTATION linéaire, algèbre, branche des mathématiques s'intéressant à la structure d'espace vectoriel et aux notions dérivées (matrice, déterminant, équation linéaire, application linéaire, etc.). 2 ESPACE VECTORIEL Un espace vectoriel est un ensemble E d'éléments, appelés vecteurs, muni de deux lois de composition. La première, l'addition, doit être une loi de composition interne telle que E soit un groupe commutatif. La seconde doit être une loi de composition externe, associant à un vecteur o a.(b. ) = (a.b). o (a + b). o a.( o 1. 3 = de E, telle que pour tous éléments et de E et pour tous réels a et b, on ait les égalités suivantes : ; = a. + b. ; ) = a. + de E et à un nombre réel a un élément a. + a. ; . MATRICE ET DÉTERMINANT Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau rectangulaire de nombres rangés suivant n lignes et p colonnes. Si n = p, on dit alors que la matrice est carrée d'ordre n. Les lignes du tableau sont numérotées de haut en bas, et les colonnes de gauche à droite. Si l'on note A la matrice et aij l'élément de A situé à l'intersection de la ie ligne et de la je colonne, alors A s'écrit : On note également A = (aij), ce qui signifie que A est la matrice de terme général aij (voir Matrices, théorie des). Lorsqu'une matrice est carrée, on peut définir son déterminant, qui est un nombre calculé à l'aide de règles précises. 4 ÉQUATION LINÉAIRE Un système de n équations linéaires se présente sous la forme suivante : où x1, x2, x3, ..., xn sont les inconnues et a11, a12, ..., ann, b1, b2, ..., bn les coefficients constants. Ce système d'équations peut se résoudre en introduisant le déterminant de la matrice (aij) associée aux coefficients aij. 5 APPLICATION LINÉAIRE Une application linéaire f est une application d'un espace vectoriel E sur un autre espace vectoriel F, telle que pour tout couple (x, y) d'éléments de E et pour tout nombre réel a, on ait : f(x + y) = f(x) + f(y) ; f(a.x) = a.f(x). Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.