indéterminées, équations - mathématiques.

indéterminées, équations - mathématiques. indéterminées, équations, en mathématiques, équations dont les solutions ne sont pas uniques. Une équation indéterminée peut avoir une infinité de solutions. De telles équations ne peuvent être résolues qu'en imposant des restrictions au problème. Une restriction courante est de ne considérer que les solutions entières. Voici un exemple simple de ce type de problème : combien faut-il de pièces de 5 francs et de 10 francs pour avoir 20 francs ? Algébriquement, ce problème s'exprime par l'équation 5 x + 10y = 20 où x est le nombre de pièces de 5 francs et y celui des pièces de 10 francs. Cette équation a une infinité de solutions si l'on accepte les solutions fractionnaires. Cependant, l'énoncé du problème interdit de telles solutions, car un tiers de pièce de 5 francs, par exemple, n'a aucune signification. Avec la restriction, seulement trois solutions existent : quatre pièces de 5 francs uniquement, ou deux pièces de 5 francs et une pièce de 10 francs, ou seulement deux pièces de 10 francs. Certains de ces problèmes n'ont aucune solution. C'est le cas du problème suivant : combien faut-il de pièces de 5 francs et de 10 francs pour avoir 37 francs ? Dans des problèmes plus complexes, les solutions ne sont pas toujours apparentes : des méthodes algébriques particulières ont été développées pour déterminer les solutions. Les problèmes les plus simples peuvent être exprimés sous la forme d'une équation algébrique linéaire à deux inconnues (telle que l'équation précédente). On peut résoudre cette équation à l'aide d'une méthode développée par les mathématiciens grecs Diophante et Euclide. Si elles existent, les solutions sont déterminées à l'aide du plus grand commun diviseur des nombres que multiplient x et y dans l'équation. Dans l'équation précédente, ces nombres sont 5 et 10, et leur plus grand commun diviseur est 5. Si ce diviseur divise le nombre situé à droite du signe égal (ici, 5 divise 20), alors l'équation a au moins une solution entière. (Voir aussi Diophantienne, analyse.) Carl Friedrich Gauss est parmi les mathématiciens qui ont consacré beaucoup de temps pour déterminer les solutions entières d'équations indéterminées extrêmement complexes. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.