géométrie - mathématiques.

géométrie - mathématiques. 1 PRÉSENTATION géométrie, branche des mathématiques qui étudie les propriétés du plan et de l'espace. La géométrie s'intéresse aux relations entre les points, les droites, les plans, les courbes, les surfaces et les volumes. Sous sa forme la plus élémentaire, elle traite de simples problèmes métriques, comme la détermination d'aires et de volumes de figures planes ou de solides ( voir géométrie plane ; géométrie dans l'espace). Mais elle étudie aussi des problèmes bien plus complexes, dans le cadre de ses diverses disciplines : la géométrie analytique, la topologie, la géométrie fractale, la géométrie projective ou encore la géométrie non euclidienne. 2 ORIGINES DE LA GÉOMÉTRIE La géométrie naît des préoccupations des Égyptiens et des Babyloniens, qui désirent connaître avec précision les dimensions et la grandeur de leurs champs et édifier des bâtiments à angles rigoureusement droits. Au mathématicien grec Pythagore pose la première pierre de la géométrie classique, en montrant que les lois qui la régissent peuvent être démontrées à partir d'un certain nombre d'axiomes et de postulats. Au IIIe VIe siècle av. J.-C., le siècle av. J.-C., Euclide réalise une première synthèse de la géométrie dans son ouvrage les Éléments. Il y donne une définition des entités géométriques (points, droites, surfaces, angles, etc.), y énonce des axiomes (par exemple, « deux grandeurs égales à une troisième sont égales entre elles «) et des postulats, le plus fameux demeurant celui des droites parallèles. Euclide postule en effet que par un point situé en dehors d'une droite ne passe qu'une droite et une seule parallèle à la première. Ce postulat qu'on essaiera longtemps en vain de démontrer est d'ailleurs à l'origine de la géométrie dite euclidienne, en opposition avec les géométries non euclidiennes, élaborées vingt-deux siècles plus tard. 3 GÉOMÉTRIE DÉMONSTRATIVE Ce sont sur les axiomes et postulats énoncés par Euclide que reposent toutes les démonstrations des théorèmes relatifs à la géométrie. Ainsi, le théorème de Pythagore, qui stipule que « dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés «, découle de ces axiomes et postulats, tout comme le théorème affirmant que « dans un triangle quelconque, la somme des trois angles internes est égale à la somme de deux angles droits «. La géométrie pratiquée par les Grecs est dite démonstrative : beaucoup plus qu'un travail de dessin, elle est fondée sur une utilisation particulière du langage où la discussion permet la confrontation d'arguments dans le but de démontrer un théorème. À l'aide de cette géométrie, les Grecs ont étudié principalement les polygones, les cercles et les figures tridimensionnelles correspondantes ( voir polyèdre). 4 PREMIERS PROBLÈMES GÉOMÉTRIQUES Les Grecs sont les premiers à poser des problèmes proposant de construire une figure géométrique avec pour seuls instruments une règle non graduée et un compas. Par exemple, ils ont étudié la construction, à l'aide de ces deux instruments, d'un segment deux fois plus long qu'un premier fixé, ou le tracé d'une droite divisant un angle donné en deux angles égaux. Le mathématicien grec Apollonios de Perga s'intéresse notamment à de nombreux problèmes de construction dans le plan, mais également dans l'espace : il étudie la famille des courbes appelées coniques, découvrant à leur sujet un grand nombre de propriétés fondamentales. Ces courbes se révéleront être d'une grande importance dans de nombreux domaines de la physique, en particulier en astronomie (voir orbite). Trois célèbres problèmes de construction (avec la règle et le compas) datant de cette époque ont résisté pendant de nombreux siècles aux efforts des mathématiciens : construire un cube dont le volume est le double d'un cube donné, diviser un angle donné en trois parties égales, et -- le plus fameux d'entre eux -- construire un carré d'aire égale à celle d'un cercle donné (quadrature du cercle). Aujourd'hui, on sait qu'aucune de ces constructions n'est possible au moyen d'une règle et d'un compas. La quadrature du cercle a fait pour sa part l'objet de milliers de mémoires ; son impossibilité n'a été démontrée qu'en 1882 par le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann. 5 Au GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE IIIe siècle av. J.-C., Archimède met au point des méthodes permettant de mesurer les aires de certaines figures curvilignes, ou de surfaces et de volumes délimités par des surfaces curvilignes, comme les paraboloïdes et les cylindres. Il invente également un procédé fournissant une valeur approchée de p, rapport du diamètre d'un cercle à sa circonférence (voir pi). Archimède encadre cette valeur entre 3 + 10/71 (environ 3,1408) et 3 + 10/70 (environ 3,1428). Il ouvre ainsi la voie à la géométrie analytique qui ne verra cependant le jour qu'au début de la Renaissance. Cette branche de la géométrie définit la nature des formes géométriques à l'aide de variables, de systèmes de coordonnées et de représentations graphiques. Dans son ouvrage Géométrie (1637), René Descartes applique les méthodes algébriques à l'étude des courbes (voir algèbre), unifiant les différentes branches de la géométrie existant alors. Considérant que toute courbe peut être définie par une équation, il montre qu'on peut engendrer de nouvelles figures géométriques à l'aide de ces équations. Au XVIIIe siècle, grâce en particulier aux travaux des Français Joseph Louis de Lagrange et Gaspard Monge, est introduit le système de coordonnées avec trois axes, généralisant ainsi la géométrie dans le plan à celle dans l'espace. Les équations de la plupart des types de surfaces sont établies. La géométrie analytique prend alors la forme qu'on lui connaît aujourd'hui. 6 Au GÉOMÉTRIE PROJECTIVE XIXe siècle, la géométrie connaît un développement important : l'étude des figures géométriques dont les projections sur un plan conservent les mêmes propriétés -- étude qui relève de la géométrie projective. La figure 1 illustre un exemple simple de théorème en géométrie projective. Si les points A, B, C, a, b, et c sont placés arbitrairement sur une section conique, par exemple sur un cercle, et que le point A est relié aux points b et c, le point B à c et a, et le point C à b et a, alors les points d'intersection des couples de droites (aC) et (Ac), (aB) et (Ab), (bC) et (Bc) sont alignés. De la même manière, un autre théorème de géométrie projective est décrit par la figure 2, sur laquelle on a tracé six tangentes quelconques d'un cercle. Les droites reliant les points d'intersection opposés de ces tangentes sont concourantes. Ce théorème est dit projectif car il s'applique à toutes les projections planes des sections coniques, comme la projection d'un cercle en une ellipse sur un plan concourant (voir figure 3). Dès la Renaissance, les peintres savent utiliser certaines notions de perspective, mais ces connaissances présentent un aspect essentiellement pragmatique, bien loin des préoccupations des mathématiciens. Il faut attendre les travaux du Français Gérard Desargues au XVIIe siècle pour que se développe une approche beaucoup plus formelle et théorique de la perspective. Grâce à la notion de projection centrale, fondamentale en perspective, Desargues peut appliquer les propriétés du cercle aux figures projetées enrichissant ainsi la théorie des coniques élaborée par Apollonios de Perga. Par ailleurs, il complète l'espace euclidien en définissant le comportement des points à l'infini, utilisant la propriété bien connue en perspective que des droites parallèles deviennent concourantes à l'infini. Peu appréciés du vivant de l'auteur, ses travaux seront redécouverts au XIXe siècle, inspirant des mathématiciens comme Michel Chasles et Jean Victor Poncelet. Ce dernier peut être considéré comme le fondateur de la géométrie projective. 7 GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE La géométrie connaît aussi un autre tournant radical au XIXe siècle, avec les prémices de la géométrie non euclidienne, développés indépendamment par les mathématiciens Carl Friedrich Gauss, Nikolaï Lobatchevski et János Bolyai. Ces mathématiciens élaborent différents modèles d'espaces dans lesquels le postulat d'Euclide relatif aux droites parallèles n'est plus vérifié, mais remplacé par d'autres postulats non intuitifs, et cependant cohérents. 8 NOTION D'HYPERESPACE À la même époque, le mathématicien britannique Arthur Cayley développe la géométrie dans un espace à plus de trois dimensions, appelé hyperespace. Considérons par exemple un espace à quatre dimensions, construit de la manière suivante. Choisissons tout d'abord une droite, qui représente un espace à une dimension. On construit ensuite un plan, espace à deux dimensions, en remplaçant chaque point de la droite par une droite qui lui est perpendiculaire. De la même façon, on peut former un espace à trois dimensions en traçant une droite perpendiculaire au plan. Enfin, si l'on remplace chaque point de l'espace tridimensionnel par une droite perpendiculaire à cet espace, on construit un espace à quatre dimensions ( voir géométrie dans l'espace). Bien que ce type d'espace soit physiquement impossible et mentalement inimaginable, son concept demeure néanmoins sensé. La notion d'hyperespace a trouvé de nombreuses applications en physique, en particulier dans le domaine de la relativité. 9 GÉOMÉTRIE STRUCTURELLE On peut également utiliser les méthodes analytiques pour étudier les figures géométriques à quatre dimensions ou plus, ou pour les comparer avec des figures similaires de moins de quatre dimensions. Une telle géométrie est appelée géométrie structurelle. Voici un exemple simple de cette approche particulière de la géométrie : la définition de la figure géométrique la plus simple pouvant être tracée dans des espaces à zéro, une, deux, trois, quatre dimensions ou plus. Dans les quatre premiers espaces, ces figures sont respectivement le point, le segment, le triangle et le tétraèdre. Dans un espace à quatre dimensions, on montre à l'aide de la géométrie structurelle que la figure la plus simple comporte 5 sommets, 10 arêtes, 10 faces triangulaires et 5 tétraèdres. Un tétraèdre analysé de la même façon se compose de 4 sommets, 6 arêtes et 4 faces triangulaires (voir figure 4). 10 GÉOMÉTRIE FRACTALE Un autre concept fait son apparition au XIXe siècle : celui d'objet fractal, dont l'étude aboutit à la géométrie fractale, développée dans les années 1970 par le Français Benoît Mandelbrot. Cette géométrie est la première à concevoir des figures dont la dimension ne soit pas un entier, mais un nombre fractionnaire. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.