Gauss, loi de - mathématiques.

Gauss, loi de - mathématiques. 1 PRÉSENTATION Gauss, loi de, fonction de probabilités continues, également appelée distribution de Gauss ou loi normale. La loi de Gauss, du nom du physicien et astronome allemand Carl Friedrich Gauss, est communément utilisée dans les calculs statistiques comme une approximation de nombreuses fonctions de probabilités ; les paramètres (espérance, variance) de la loi de Gauss sont alors ceux des fonctions de probabilités sur lesquelles s'effectue l'approximation (loi de Student, loi du c2). Les lois de probabilités continues, et tout particulièrement la loi de Gauss, sont souvent utilisées comme des approximations des lois de probabilités discrètes (loi de Poisson, loi binomiale), autant pour la construction du modèle statistique du phénomène étudié que pour l'application des techniques statistiques. Le rôle de la loi de Gauss est donc capital dans la théorie des probabilités et dans ses applications statistiques, car lorsqu'un caractère, par exemple la taille des individus, d'un échantillon statistique extrait d'une population, dépend d'un grand nombre de facteurs indépendants et de même poids, ce caractère, ici la taille, suit une loi de Gauss : il y a peu d'individus très petits ou très grands, et la plupart des individus ont une taille moyenne. 2 FONCTION DE PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES Dans le cas d'une variable aléatoire dont les valeurs couvrent un intervalle, fini ou infini, mais indénombrable, tel l'ensemble des réels ou une de ses parties, les variables aléatoires sont dites continues et la fonction de probabilités, dite aussi fonction de densité, associée est un modèle continu correspondant au mieux à la distribution de fréquences de cette variable aléatoire. La fonction de probabilités continues d'une telle variable aléatoire est alors caractérisée par son espérance et par sa variance ; on peut noter que, dans le cas des variables aléatoires continues, seule la probabilité de réalisation définie dans un intervalle (fini ou infini) existe : la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur numérique spécifique est nulle. 3 EXPRESSION MATHÉMATIQUE DE LA LOI DE GAUSS Une variable aléatoire continue X suit une loi de Gauss, dite également loi normale ou loi gaussienne, si sa fonction de distribution, dite encore fonction de répartition, est telle que : où e est la notation usuelle de la fonction exponentielle, µ et ? sont deux réels, respectivement l'espérance E[X] et la variance Var(X) de la variable aléatoire X : et où D est l'intervalle des valeurs possibles de X. La loi de Gauss est donc une loi à deux paramètres : on dit que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne µ et de variance ?2. Si la moyenne d'une loi de Gauss est nulle, et sa variance égale à l'unité, on obtient une distribution normale centrée et réduite (ou loi normale standard) donnée par : Pour toute variable aléatoire X suivant une loi normale de moyenne µ et de variance ?2, la variable aléatoire réduite Z, définie par : Z = (x - µ)/? , suit une loi normale standard. 4 INTERPRÉTATIONS DE LA LOI DE GAUSS La courbe de distribution de la loi de Gauss d'abscisse x et d'ordonnée F(x) est une courbe « en cloche «, symétrique par rapport à l'axe vertical d'équation x = µ. La loi de Gauss décrit ainsi pour toute variable aléatoire sa répartition autour de sa valeur moyenne µ ; la distribution de Gauss est d'autant plus aplatie et large que son écart-type ?, égal à la racine carrée de la variance ? 2, décrivant l'intervalle [µ ± ? ] associé à la réalisation de 68,26 p. 100 des valeurs adoptées par la variable aléatoire autour de la moyenne, est grand. Autrement dit, plus la variance de la loi de Gauss est élevée et plus la réalisation de la variable aléatoire a de chances d'être éloignée de sa valeur moyenne. Si la variable aléatoire considérée est la mesure d'une quantité intrinsèquement invariable, cette mesure dépend tout de même des incertitudes de nature aléatoire liées à l'inévitable imperfection des instruments utilisés. L'évaluation de la variance de cette variable aléatoire ou de son écart-type à partir de nombreuses mesures réitérées indique ainsi la fiabilité de la moyenne : plus la variance de cette variable aléatoire est grande, plus les incertitudes attachées à la mesure sont élevées, autrement dit, plus la dispersion des mesures est grande. 5 ORIGINE DE LA LOI DE GAUSS Dès le XVIe siècle, le physicien et astronome italien Galilée notait que les mesures d'observations astronomiques étaient distribuées de façon symétrique et tendaient à se grouper autour d'une valeur, qu'il nommait valeur vraie. Cette remarque formait comme un prélude à la formalisation un siècle plus tard par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli de la loi, dite loi des grands nombres, qui stipule qu'à toute suite de n événements aléatoires, avec n très grand, il est possible d'associer une loi globale de probabilités ; ce résultat fut exposé dans son oeuvre posthume l'Art de conjecturer, publiée en 1713 ; elle contenait également la loi de probabilités, dite loi de Bernoulli : où p et q sont respectivement les probabilités de succès et d'échec symbolisés par les deux valeurs possibles de k : 1 et 0 ; la variance de cette loi est égale au produit de p par q et son espérance est égale à p. Cette oeuvre exposait encore la loi binomiale, dont la loi de probabilités est telle que : P(X k) = .pk.qn-k où sont les coefficients binomiaux, tels que : où par convention = 0, si k