espace, géométrie dans l' - mathématiques.

espace, géométrie dans l' - mathématiques. 1 PRÉSENTATION espace, géométrie dans l', branche de la géométrie qui étudie les propriétés et les mesures des figures géométriques à trois dimensions, comme le cône, le cube, le cylindre, la pyramide, la sphère ou le prisme. La géométrie dans l'espace développe et étend les propositions de la géométrie plane. 2 NOTION D'ESPACE MATHÉMATIQUE 2.1 Historique En mathématiques, la notion d'espace a évolué au fil des siècles. Pendant longtemps, l'espace géométrique ou descriptif a été considéré comme l'équivalent mathématique de l'espace physique dans lequel nous nous mouvons. Ainsi, tout comme la droite ou le plan, un espace est en fait assimilé à un ensemble de points. S'il est muni d'un repère cartésien, il est alors possible de définir un point à l'aide de ses trois coordonnées, correspondant aux trois dimensions de l'espace. Le postulat d'Euclide, qui détermine la condition du parallélisme de deux droites dans le plan -- par un point situé en dehors d'une droite ne passe qu'une droite et une seule parallèle à la première --, était jusque-là suffisant pour démontrer n'importe quel théorème dans l'espace. Mais, au XIXe siècle sont apparus les premiers développements de géométries non-euclidiennes, dans lesquelles le postulat d'Euclide est nié et remplacé par d'autres postulats tout aussi cohérents. Ce nouveau concept a bouleversé totalement la notion d'espace mathématique, et abouti à la notion d'hyperespace ou espace à plus de trois dimensions. Parallèlement, l'avènement de la notion de vecteur et celui de la géométrie projective, fondée par le Français Jean Victor Poncelet, permirent d'envisager un nouveau mode de description des espaces, à l'aide de transformations. En effet, les translations et les rotations subies par des formes géométriques quelconques permettent d'établir des systèmes de correspondance géométrique, outils de choix pour la description d'un espace. 2.2 Types d'espaces Aujourd'hui, les mathématiciens classent les espaces en plusieurs catégories, selon l'usage qu'ils en font et les propriétés qu'ils privilégient : espace métrique, espace affine ou encore espace vectoriel. Par exemple, on peut manipuler les coordonnées d'un point A dans un espace métrique ou affine, ou bien utiliser les coordonnées du vecteur A d'un espace vectoriel (O étant l'origine du repère). Voir Linéaire, algèbre ; Vecteur. 3 APPLICATIONS 3.1 Extension des propriétés du plan Le postulat de base de la géométrie dans l'espace est que tout théorème valable dans le plan est généralisable à tout plan contenu dans l'espace. Par exemple, la définition du parallélisme dans l'espace s'énonce comme suit : d'une part, toute droite parallèle à une droite d'un plan est parallèle à ce plan, et, d'autre part, deux plans sont parallèles dès lors que l'un d'eux est parallèle à deux droites sécantes de l'autre. Des théorèmes similaires permettent de définir l'orthogonalité dans l'espace. De même, on peut également définir un système de coordonnées dans l'espace, qui permettent de construire des figures géométriques à l'aide d'équations, à l'instar de la géométrie analytique du plan. 3.2 Utilisations pratiques La géométrie dans l'espace constitue la base indispensable pour le développement de nombreuses branches des mathématiques. Ainsi, la trigonométrie sphérique, qui peut être considérée comme une extension de la trigonométrie dans le plan, utilise tout particulièrement les propriétés de la géométrie dans l'espace. Cette branche de la trigonométrie, employée notamment en navigation et en astronomie, permet d'effectuer des mesures, des repérages et des projections sur une sphère, appelées projections stéréographiques. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.