équations, théorie des - mathématiques.

équations, théorie des - mathématiques. 1 PRÉSENTATION équations, théorie des, branche des mathématiques qui étudie la nature des racines d'équations polynômiales et les méthodes permettant de trouver ces racines. La théorie des équations a de nombreuses applications en mathématiques et dans d'autres sciences. Une équation polynômiale de degré n est de la forme : a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0, où les coefficients a0, a1, ..., an sont des réels quelconques, avec an ? 0. Le réel x est une racine du polynôme, si et seulement si il vérifie l'égalité ci-dessus. Une équation polynomiale est résolue lorsque toutes les racines de l'équation ont été déterminées. Une équation linéaire est une équation du premier degré, de la forme ax + b = 0. Son unique racine est x = - b/a. Une équation quadratique est une équation du second degré, c'est-à-dire de la forme ax2 + bx + c = 0. Selon le signe de ? = b2 - 4ac, ou discriminant, l'équation possède 0, 1 ou 2 racines réelles. Si ? < 0, l'équation n'a pas de solution réelle ; si ? = 0, la seule solution de l'équation est : x = - b/2a ; si ? > 0, l'équation a deux racines réelles : 2 PREMIERS DÉVELOPPEMENTS Avant le XVIIe siècle, les mathématiciens n'acceptent comme racines d'une équation ni les nombres négatifs, ni les nombres complexes, ce qui ralentit le développement de la théorie des équations. Seuls des mathématiciens indiens, comme Brahmagupta, utilisent les racines négatives. En dehors de l'Inde et de la Chine, les coefficients négatifs ne sont pas admis dans les équations polynômiales. Il existe alors six formes d'équations quadratiques différentes suivant le signe des coefficients. Une des méthodes de résolution d'équations avait été indiquée dans les textes égyptiens et chinois anciens : il s'agit de la méthode dite de fausse position. Par exemple, pour résoudre l'équation x + x/7 = 19, on utilise d'abord une valeur approchée de x pour laquelle le second terme est facile à calculer, comme x = 7. En remplaçant x par 7 dans cette équation, on trouve 8 et non 19. Le facteur de correction nécessaire est obtenu en divisant 19 par 8. Ce facteur de correction (2,375) est alors multiplié par la valeur approchée de départ, 7, et on trouve 16,625 comme racine de l'équation de départ. Les Égyptiens employèrent la méthode de fausse position pour déterminer une racine des équations simples du second degré. Les premières solutions des équations du second degré contenant un terme en x, comme x2 - 5x = 6, furent données dans les textes babyloniens datant de 2000 av. J.-C. La méthode de calcul, des racines positives, est exactement celle qui est enseignée aujourd'hui. Au Ier siècle apr. J.-C., les écrits de Héron d'Alexandrie décrivent une méthode permettant l'approximation de la racine positive d'une équation telle que x2 = 2. Cela constitue un autre développement important des temps anciens. D'après cette méthode, on utilise d'abord une valeur approchée telle que ? pour calculer une nouvelle approximation à l'aide de la règle [? + 2/(? )]/2, soit 17/12. Le processus est répété pour obtenir 577/408, qui est une très bonne approximation de à . Ces approximations, ou calculs répétés, sont appelés itérations. Une méthode itérative efficace, décrite dans les travaux des mathématiciens chinois Liu Hui (IIIe siècle) et Zhu Shijie (XIIIe siècle), sera redécouverte vers 1800 en Europe, par le mathématicien anglais W. G. Horner. Cette méthode est également utilisée au XVe siècle, par le mathématicien musulman, Djamchid al-Kachi. Al-Khuwarizmi et Omar Khayam, autres mathématiciens musulmans pionniers, établissent la première théorie des équations du troisième degré. Ils apportent une importante contribution à la théorie des équations. Cependant, cette théorie est exprimée en termes géométriques et donc nécessairement incomplète. 3 SOLUTIONS GÉNÉRALES En 1545, le mathématicien italien Jérôme Cardan publie une méthode de résolution algébrique développée par Niccolò Tartaglia des équations du troisième degré où la racine est exprimée en fonction de leurs coefficients. L'élève de Cardan, Ludovico Ferrari, et Tartaglia découvrent une solution algébrique pour des équations du quatrième degré. En 1629, le mathématicien français, Albert Girard, admet la possibilité qu'une équation ait des racines négatives ou des racines complexes. Il est ainsi en mesure de compléter les découvertes partielles de François Viète concernant les relations entre les racines et les coefficients d'une équation algébrique. Viète avait découvert que si a et b sont les racines de x2 - px + q = 0, alors p = a + b et q = a × b. Plus généralement, Viète démontre que, si le coefficient de plus haut degré de l'équation p(x) = 0 est 1, alors l'opposé du coefficient d'ordre suivant est égal à la somme de toutes les racines ; le troisième coefficient suivant est égal à la somme de tous les produits de deux racines, et l'opposé du quatrième coefficient est égal à la somme de tous les produits de trois racines. Si le degré de l'équation est pair, le dernier coefficient est le produit de toutes les racines ; s'il est impair, l'opposé de ce coefficient est égal au produit de toutes les racines. Viète apporte également une contribution importante aux méthodes numériques d'approximation des racines d'équations. En 1635, René Descartes publie un texte sur la théorie des équations, avec notamment une règle des signes permettant de déterminer le nombre de solutions positives et négatives d'une équation. Quelques décennies plus tard, Isaac Newton indique une méthode itérative pour trouver les racines d'une équation, incluant le cas particulier de la méthode de Héron décrite ci-dessus ; elle est connue aujourd'hui sous le nom de méthode de Newton-Raphson. À la fin du XVIIIe siècle, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss démontre que toute équation polynômiale a au moins une solution. Il reste cependant à déterminer si cette racine peut s'exprimer à l'aide d'une formule algébrique faisant intervenir les coefficients de l'équation, comme c'est le cas pour les équations de premier, second, troisième et quatrième degrés. Dans le cadre de cette recherche, le Français Joseph Lagrange développe une méthode de permutation des racines d'une équation. Cette idée est reprise par l'Italien Paolo Ruffini, le Norvégien Niels Abel et le Français Évariste Galois. Les travaux de ces quatre mathématiciens conduisent à une théorie complète des racines des polynômes. D'après cette dernière, une équation polynômiale peut être résolue à l'aide d'une formule algébrique générale, seulement si le degré du polynôme est inférieur à cinq. Les travaux de Galois donnent également la réponse à deux célèbres problèmes posés par les Grecs : Galois démontre qu'en utilisant seulement un compas et une règle, il est impossible de partager un angle quelconque en trois parties égales et de construire un cube dont le volume est le double du volume d'un cube donné. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.