équations, système d' - mathématiques.

équations, système d' - mathématiques. équations, système d', ensemble d'équations mathématiques qui doivent être satisfaites simultanément. Prenons un exemple simple : Si nous multiplions les équations (1) et (2) respectivement par 3 et 2 (coefficients de y dans (2) et (1)), nous obtenons : Nous pouvons alors soustraire (2') de (1') pour éliminer y. Cela donne 11x = 22, donc x = 2. En remplaçant x par sa valeur dans l'équation (1), nous avons : 10 + 2y = 16, d'où y = (16 - 10) / 2 = 3. (Nous aurions pu également multiplier (1) par 2 et (2) par 5, puis soustraire les deux équations formées, éliminant ainsi x plutôt que y.) De manière plus générale, si les équations sont de la forme : où a, b, c, d, p et q sont des constantes, en multipliant (3) par d et (4) par b, nous obtenons alors : En soustrayant (4') de (3'), nous éliminons y : (ad - bc) x = dp - bq Il en résulte que : à condition que ad - bc ne soit pas égal à 0. En remplaçant x par sa valeur dans (3), nous obtenons une équation simple pour y, dont la solution est : On peut aussi obtenir la solution de ce système en utilisant les déterminants formés avec les coefficients a, b et c, d et les constantes p, q des équations. On peut encore faire une interprétation géométrique de ce système d'équations (voir analytique, géométrie). Les graphes représentant les équations (3) et (4) sont des droites, et la solution correspond aux coordonnées du point (x ; y) d'intersection de ces deux droites. Ainsi, les droites 5x + 2y = 16 et 2x + 3y = 13 se coupent en un point de coordonnées (2 ; 3). Voir coordonnées (mathématiques). Un cas particulier se présente lorsque ad - bc = 0. Par exemple, les équations : 5x + 2y = 16 5x + 2y = 13 correspondent à deux droites parallèles. Par conséquent, le système n'a pas de solution. Par ailleurs : 5x + 2y = 16 10x + 4y = 32 caractérisent une seule droite. Il existe donc une infinité de solutions : Les systèmes de plus de deux équations comportant plus de deux variables peuvent être traités de manière analogue, mais il est plus efficace d'utiliser la théorie des matrices. Un système d'équations non linéaires est formé d'équations contenant des termes tels que x2, xy,x3y5, etc. Leurs courbes représentatives ne sont pas des droites. Elles peuvent donc comprendre de nombreuses intersections ou, au contraire, n'avoir aucun point commun. Par exemple, dans le système d'équations : L'équation (5) est linéaire, tandis que l'équation (6) ne l'est pas (son graphe est une hyperbole). En écrivant (5) sous la forme y = 7 - x, puis en substituant cette valeur à y dans (6), on obtient : x (7 - x) = 12 ce qui équivaut à l'équation du second degré : x2 - 7x + 12 = 0 dont les solutions sont x = 3 et x = 4. Voir quadratiques, équations. Puisque y = 12/x, nous avons donc respectivement y = 4 et y = 3. Ainsi les deux graphes se coupent aux points (3 ; 4) et (4 ; 3), ce qui correspond aux deux solutions x = 3, y = 4 et x = 4, y = 3. Voir aussi équations, théorie des. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.