ensembles, théorie des - mathématiques.

ensembles, théorie des - mathématiques. 1 PRÉSENTATION ensembles, théorie des, branche des mathématiques fondée au XIXe siècle par le mathématicien allemand Georg Cantor, qui introduit la notion d'ensemble à l'aide d'axiomes. Cette théorie a permis notamment de définir de manière plus précise le concept d'infini. On utilise aujourd'hui la notion d'ensemble dans tous les domaines des mathématiques, pures et appliquées. 2 DÉFINITIONS 2.1 Ensemble Un ensemble est un groupe d'entités appelées éléments de l'ensemble. Si a est un élément de l'ensemble E, on dit que l'élément a appartient à E ou est contenu dans l'ensemble E, ou que l'ensemble E contient l'élément a. Ces assertions équivalentes se notent a E. Si l'élément a n'appartient pas à E, on écrit alors a E. On désigne souvent un ensemble par le symbole E = { }. Ces accolades renferment les éléments de E écrits intégralement ou définis par une formule, une règle ou une affirmation. Voici des exemples d'ensembles : o E1 = {2, 4} ; o E2 = {0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {tous les entiers pairs positifs} ; o E3 = {x entier / x2 - 6x + 11 > 3} = {tous les entiers x tels que x2 - 6x + 11 > 3} (voir inégalité) ; o E4 = {tous les individus masculins prénommés Jean}. Un ensemble vide E est désigné par le symbole Æ. 2.2 Sous-ensemble Si tout élément de l'ensemble F appartient également à l'ensemble E, on dit que F est un sous-ensemble de E ou qu'il est inclus dans E, ou bien que E est un sur-ensemble de F. On note cette assertion par F Ì E et E É F. Un ensemble est donc à la fois un sous-ensemble et un sur-ensemble de lui-même. Si F Ì E, mais qu'au moins un élément de E n'est pas dans F, on dit que F est un sous-ensemble propre de E et que E est un sur-ensemble propre de F. Si tout élément d'un ensemble est un élément de l'autre et réciproquement, alors F et E sont identiques, soit F = E. Ainsi, dans les exemples donnés ci-dessus, E1 est un sous-ensemble propre de E2. 2.3 Union et intersection Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. Les éléments communs à A et à B forment un sous-ensemble de E, appelé intersection de A et B et noté A Ç B. Les éléments appartenant à A ou à B ou à l'intersection de A et B forment un sousensemble de E, appelé union de A et B et noté A È B. Si A et B ne possèdent pas d'éléments en commun, l'intersection est vide ; on a alors A Ç B = Æ. Ainsi, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} et C = {10, 14, 16, 26}, alors A È B = {2, 4, 6, 8, 10}, A È C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A Ç B = {4, 6}, A Ç C = Æ. 2.4 Différence et complémentaire L'ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B est appelé différence de A et B, notée A - B. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A est un ensemble inclus dans un ensemble E, l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A, c'est-à-dire E - A, est appelé le complémentaire de A dans l'ensemble E. Il est noté ?. Lorsqu'on parle de complémentaire, il est indispensable de préciser l'ensemble de référence (ici E). 3 OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES Des définitions précédentes découlent les relations suivantes, où A, B, C sont des sous-ensembles d'un ensemble E : Ces relations sont celles de l'algèbre des ensembles qui, munie des opérations d'intersection, d'union et de complémentarité, constitue un exemple de la structure algébrique appelée algèbre de Boole. 4 PRODUIT CARTÉSIEN Si A et B sont deux ensembles, l'ensemble de toutes les paires ordonnées de la forme (a, b), où a est un élément de A et b un élément de B, est appelé produit cartésien de A et B, souvent noté A × B. Par exemple, si A = {1, 2}, B = {x, y, z}, alors A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. Ici, A × B ? B × A, car la paire (1, x) est différente de la paire (x, 1). 5 RELATIONS ENTRE ENSEMBLES Les éléments de l'ensemble A = {1, 2, 3} peuvent être associés ou appariés avec les éléments de l'ensemble B = {x, y, z} de six manières différentes, de sorte que tout élément de B soit associé à un élément de A, et inversement. Par exemple, les éléments peuvent être associés de la manière suivante : (1, y), (2, z), (3, x). On appelle ce genre d'association une bijection entre les ensembles A et B (voir applications). On dit que deux ensembles ont le même cardinal lorsque l'on peut établir une bijection entre leurs éléments respectifs. Les éléments de l'ensemble A = {1, 2, 3} ne peuvent être mis en bijection avec les éléments d'aucun des sous-ensembles propres de A. Tout ensemble qui vérifie cette dernière propriété est appelé ensemble fini ou ensemble à cardinal fini. En revanche, pour l'ensemble associant par exemple n de = {0, 1, 2, 3, ...}, ensemble des nombres entiers (voir Nombres), il est possible d'établir une bijection entre ses éléments et ceux de son sous-ensemble propre C = {2, 3, 4, 5, ...} en avec n + 2 de C, n = 0, 1, 2, 3, ... Un ensemble possédant une telle propriété est dit infini ou de cardinal infini (voir infini). Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.