division - mathématiques.

division - mathématiques. 1 PRÉSENTATION division (mathématiques), opération élémentaire de l'arithmétique, symbolisée par le symbole ÷ (« divisé par «), par une barre horizontale, par deux points ou par une barre oblique. Ainsi, « 12 divisé par 4 « peut s'écrire 12 ÷ 4, ? 12 : 4 ou encore , 12/4. 2 PROPRIÉTÉS Contrairement à la multiplication, la division n'est pas une opération commutative. En effet, pour deux nombres quelconques x et y, x/y est différent de y/x et on a, en fait : x/y = (y/x)-1 = 1/(x/y). Par ailleurs, la division par 0 n'est pas définie. 3 DIVISION EUCLIDIENNE La division euclidienne est une division particulière qui s'applique aux entiers relatifs de l'ensemble (voir nombres). Elle se définit de la manière suivante : si a et b sont deux entiers relatifs, b étant non nul, il existe deux entiers relatifs uniques q et r tels que a = bq + r, avec 0 <= r <= b - 1, où q est appelé le quotient de la division de a par b, et r le reste. Dans ce cadre, on dit qu'un entier n est divisible par un entier p si et seulement si le reste de la division de n par p est égal à 0 : p est alors un diviseur de n. Par exemple, tout nombre pair est divisible par 2, alors qu'aucun nombre impair ne l'est. Un nombre premier est généralement défini comme un nombre entier naturel supérieur à 1, qui n'est divisible que par 1 et par lui-même. Le plus petit commun multiple (PPCM) de plusieurs nombres est le plus petit nombre admettant pour diviseurs chacun des nombres considérés. Ainsi, le PPCM des nombres 12, 30 et 5 est 60. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de plusieurs nombres est le plus grand facteur commun de ces nombres. Par exemple, le PGCD de 9, 15 et 27 est 3. Voir arithmétique. 4 DIVISION D'ENTIERS NATURELS La division est une opération qui permet de déterminer combien de fois un nombre donné est contenu dans un autre. Par exemple, 4 étant contenu trois fois dans 12, 12 divisé par 4 est donc égal à 3, ce qui peut encore s'écrire ?= 3. Si l'on pose la division de 12 par 4, on obtient : Pour effectuer à la main une division d'entiers naturels, appelés également nombres entiers, il convient de suivre la méthode exposée ci-dessous. Considérons ainsi la division de 3 915 par 5. Tout d'abord, on sélectionne, à partir de la gauche, les premiers chiffres du dividende qui correspondent au plus petit nombre supérieur au diviseur. Dans ce cas présent, on choisit donc 39, puisque 3 est inférieur à 5. Le nombre 39 contient au moins sept fois le chiffre 5 mais moins de huit, car 7 × 5 = 35 et 8 × 5 = 40. Par conséquent, dans la division posée, on écrit le chiffre 7 à l'emplacement du quotient, et 35 (produit du diviseur 5 par 7) en dessous du nombre 39 du dividende. On effectue ensuite la soustraction 39 - 35 = 4. Le résultat est écrit comme suit : Pour poursuivre la division, on « abaisse « alors à droite du 4 le chiffre suivant du dividende, qui est ici 1. Il s'agit maintenant de déterminer combien de fois le nombre 41 ainsi obtenu contient le diviseur 5, soit au moins huit fois, mais moins de neuf puisque 8 × 5 = 40 et 9 × 5 = 45. On écrit donc 8 à l'emplacement du quotient, à droite du chiffre 7. Puis on effectue la soustraction 41 - 40, et ainsi de suite jusqu'à avoir utilisé tous les chiffres du dividende. On obtient donc la division suivante : Par conséquent, la division de 3 915 par 5 est égale à 783, le reste étant nul. On peut donc écrire 3 915/5 = 783. On remarque que la technique pour effectuer la division est un processus itératif d'opérations, que l'on peut assimiler à un algorithme. Si l'on divise 3 923 par 6, le résultat de la dernière soustraction n'est pas nul, le reste de la division étant égal à 5. En effet, on a : On peut vérifier que 3 923 = 653 × 6 + 5. 5 DIVISION D'ENTIERS RELATIFS La division étant l'opération inverse de la multiplication, la division de nombres affectés d'un signe met en jeu les mêmes règles que celles appliquées à la multiplication. Pour effectuer une division de deux nombres de même signe, on calcule le quotient de leurs valeurs absolues en attribuant au résultat un signe positif. Par exemple, on peut avoir : Pour diviser deux nombres de signes opposés, on calcule le quotient de leurs valeurs absolues en attribuant au résultat un signe négatif. Ainsi, on aura : 6 DIVISION DE FRACTIONS On dit que q est une fraction ou un nombre rationnel s'il existe deux entiers p et n, n étant non nul, tels que : où p est appelé le numérateur de la fraction, et n le dénominateur. La division de fractions est plus facile à comprendre en termes d'inverses. Soit un entier relatif quelconque a, avec a ? 0. Alors, on peut définir l'inverse de a qui est noté 1/a, ou a-1. Remarquons qu'on peut écrire : Soient quatre entiers relatifs a, b, c et d, avec b, c et d non nuls. Pour effectuer la division on utilise la règle suivante : diviser un nombre par un autre revient à multiplier le premier par l'inverse du second. Comme l'inverse de c/d est égal à d/c, on a donc : Les deux exemples suivants illustrent la méthode générale décrite ci-dessus : Remarquons que - 5/4 est l'inverse de - 4/5. 7 DIVISION DE NOMBRES DÉCIMAUX Comme la multiplication, la division de nombres décimaux suit le même processus que la division des nombres entiers, à ceci près qu'il faut déterminer avec exactitude le nombre de chiffres situés après la virgule dans le quotient. Diviser un nombre décimal par un nombre entier est immédiat : dans le quotient, on place la virgule avant d'abaisser le premier chiffre situé à droite de la virgule du dividende. Ainsi, dans l'exemple ci-dessous, on positionne la virgule après le premier chiffre 3 du quotient, avant d'abaisser le chiffre 4 du dividende : Dans les cas où le diviseur présente une virgule, on transforme le problème de façon à obtenir un diviseur entier, afin d'effectuer une division qui rentre dans le cadre précédent. Par exemple, pour diviser 2,675 par 0,23, on convertit le diviseur 0,23 en un entier en le multipliant par 100, ce qui donne 0,23 × 100 = 23. Ensuite, il faut également multiplier le dividende par 100 pour retrouver l'opération de départ. En effet, on a : Enfin, on pose la division de 267,5 par 23, ce qui nous ramène au cas déjà exposé. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.