différentielles, équations - mathématiques.

différentielles, équations - mathématiques. 1 PRÉSENTATION différentielles, équations, équations vérifiées par une fonction dérivable f et au moins l'une de ses dérivées. 2 DÉFINITIONS La dérivée première d'une fonction f de la variable x en un point de coordonnées (x0 ; y0) est égale à la limite, lorsqu'elle existe, du rapport (f(x) - f(x0)) / (x - x0), quand x tend vers x0. On définit de même la dérivée seconde d'une fonction comme la dérivée de la dérivée de cette fonction, et ainsi de suite. On note f' la dérivée première de f, f" sa dérivée seconde, etc. Une solution particulière d'une équation différentielle est une fonction f vérifiant l'équation. La solution générale donne l'ensemble de toutes les solutions. Une équation différentielle est d'ordre n si elle fait intervenir la dérivée d'ordre n, notée f(n), d'une fonction f, à l'exception de toute autre dérivée d'ordre supérieur. 3 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : a(x)f' + b(x)f = c(x), où a(x), b(x) et c(x) sont des fonctions de la variable réelle x (voir nombres). La solution générale d'une telle équation est de la forme ? f0 + f1, où ? est un réel, f1 est une solution particulière, et f0 une fonction de la forme : La fonction exp est la fonction exponentielle et le symbole ? signifie « intégrale de « (voir infinitésimal, calcul). Un exemple simple d'équation différentielle linéaire du premier ordre peut être illustré par la loi de désintégration radioactive. Considérons le paramètre t comme représentation du temps, et le paramètre f comme la quantité de matière radioactive présente dans un échantillon à l'instant t. Selon la théorie de la radioactivité, le taux de diminution de f, c'est-à-dire df / dt, est proportionnel à la quantité restante f. On peut donc écrire : où b est un nombre réel négatif. La solution générale de cette équation différentielle est donnée par f = c exp(bt), où c est une constante égale à la quantité de matière radioactive présente à l'instant t = 0. 4 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU SECOND ORDRE On appelle équation différentielle linéaire du second ordre une équation de la forme : a(x)f" + b(x)f' +c(x)f = d(x) où a(x), b(x), c(x) et d(x) sont des fonctions de la variable réelle x. Alors, dans les cas les plus simples, si f0 est une solution particulière de l'équation, et si f1 et f2 sont solutions de l'équation a(x)f" + b(x)f' + c(x)f = 0, la solution générale est de la forme f0 + ?1f1 + ?2f2, où ? 1 et ?2 sont des réels. Lorsque a, b, et c ne sont pas des fonctions mais des coefficients numériques constants, il est relativement facile de déterminer précisément la solution générale d'une telle équation. Les équations différentielles du second ordre apparaissent souvent en mécanique. Étudions par exemple le déplacement d'un objet ponctuel de masse m attaché à l'extrémité d'un ressort, le long d'un axe donné. On considère l'autre extrémité du ressort fixe, et située à l'origine de l'axe. On appelle l la longueur à vide du ressort, k sa constante de raideur et m la masse de l'objet. La variable x représente le déplacement de l'objet en fonction du temps t. L'accélération de l'objet est alors donnée par mx". On montre que l'intensité de la force exercée par le ressort sur l'objet est égale à - k (x - l). Si on néglige les autres forces, on a donc, conformément au principe fondamental de la dynamique : mx" = - k(x - l), soit mx" + kx = kl (voir mécanique). Cette équation est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Elle a pour solution : 5 AUTRES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Il existe naturellement bien d'autres formes d'équations différentielles. En particulier, lorsque les fonctions sont à plusieurs variables, on rencontre fréquemment en mathématiques et en physique des équations aux dérivées partielles. Un exemple fondamental et très répandu est l'équation de Laplace (en hommage au mathématicien français Laplace). Elle s'écrit sous forme synthétique : ? f = 0 où ? est un opérateur mathématique, appelé laplacien. Dans l'espace muni d'un système de coordonnées cartésiennes orthonormées, l'équation de Laplace se traduit par : où les trois dérivées suivantes : sont les dérivées secondes partielles de la fonction f par rapport à x, y et z. En mécanique des fluides, l'équation de Laplace constitue notamment une des équations fondamentales de la théorie des écoulements potentiels. Celle-ci permet, par exemple, d'étudier l'aérodynamique des ailes d'avions. L'étude de problèmes mathématiques ou physiques conduit souvent à la résolution d'équations différentielles ou de systèmes d'équations différentielles. Malheureusement, les scientifiques parviennent rarement à déterminer une solution générale : ils ont alors recours à une étude analytique des équations pour en dégager leurs propriétés. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.