Cours nombres complexes

Chapitre 1 Nombres complexes 1.1 1.1.1 Ensemble C des nombres complexes Généralités Définition 1.1 L’ensemble des nombres de la forme a + ib où a et b sont des nombres réels et i désigne un nombre imaginaire tel que i2 = −1 est appelé l’ensemble des nombres complexes et on le note C. On définit une addition et une multiplication sur C de la manière suivante : si z = a + ib et z 0 = a0 + ib0 sont deux nombres complexes, alors : — z + z 0 = (a + ib) + (a0 + ib0 ) = (a + a0 ) + i(b + b0 ) ; — zz 0 = (a + ib) × (a0 + ib0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + ba0 ) ; Remarque. Tout nombre réel a peut s’écrire a = a + i.0, donc tout nombre réel est en particulier un nombre complexe. On le note : R ⊂ C. Proposition 1.2 Si z est un nombre complexe, l’écriture z = a + ib avec a et b réels est unique. Définition 1.3 Soit z = a + ib un nombre complexe. Cette écriture est appelée écriture algébrique de z. — Le nombre réel a est appelé partie réelle de z et on écrit : Re(z) = a. — Le nombre réel b est appelé partie imaginaire de z et on écrit : Im(z) = b. Quant a est nul, le nombre complexe z s’écrit z = bi et on dit que z est un imaginaire pur. On le note : z ∈ iR. Proposition 1.4 Soit z = a + ib et z 0 = a0 + ib0 deux nombres complexes, 1. Nombre complexe nul : a + ib = 0 ⇐⇒ a = 0 et b=0 Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. 2. Égalité : a + ib = a0 + ib0 ⇐⇒ a = a0 et b = b0 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. 3. Caractérisation d’un nombre réel : z∈R ⇐⇒ 1 Im(z) = 0 Un nombre complexe est réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle. 4. Caractérisation d’un nombre imaginaire pur : z ∈ Ri ⇐⇒ Re(z) = 0 Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement sa partie réelle est nulle. 1.1.2 Conjugaison Définition 1.5 Soit z = a + ib un nombre complexe, le nombre complexe a − ib est appelé le conjugué de z et on note z¯ = a − ib La notation z¯ se lit « z barre ». Méthode. Pour calculer la forme algébrique d’un quotient zz0 de deux nombres complexes (avec z 0 6= 0), on peut multiplier 0 ce nombre par zz¯¯0 Remarque. En particulier, 1 i i i2 = = −i. Proposition 1.6 Soit z = a + ib un nombre complexe, alors 1. z + z¯ = 2a = 2 Re(z) 2. z − z¯ = 2b i = 2i Im(z) 3. z est un réel si et seulement si z = z¯ ; 4. z est un imaginaire pur si et seulement si z = −¯ z. Remarque. Les deux premiers points implique en particulier que Re(z) = z + z¯ 2 et Im(z) = z + z¯ 2i Proposition 1.7 Soit z, z 0 deux nombres complexes. Alors, 1. z + z 0 = z¯ + z¯0 ; 2. z × z 0 = z¯ × z¯0 ;   3. Si z 6= 0, z1 = Le conjugué de la somme est la somme des conjugués Le conjugué du produit est le produit des conjugués 1 z¯ et   z0 z = z¯0 z¯ . Le conjugué du quotient est le quotient des conjugués 4. Pour tout entier n, z n = z¯n . 1.2 Le plan complexe Définition 2.1 On se place dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct. — À tout nombre complexe z = a + ib (avec a et b réels), on associe le point M de coordonnées (a; b) dans ce repère. On dit que M (a; b) est le point image de z. — Inversement, à tout point M (a; b) du plan, on associe le nombre complexe z = a + ib. 2 On dit que z est l’affixe du point M . On note parfois M (z) le point du plan d’affixe z.   a → − − De même, à un nombre complexe z = a + ib, on associe le vecteur u et on dit que z est l’affixe du vecteur → u. b −−→ Si zA et zB désignent les affixes des points A et B, alors le vecteur AB a pour affixe zB − zA . Axe des imaginaires purs Ri z = a + bi → u− b Axe des réels i O 1.3 1 R a Module Définition 3.1 Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelle module de z, noté z le nombre réel z = √ a2 + b2 . Remarque. C’est un nombre positif ou nul. Proposition 3.2 Soient z et a deux nombres complexes. Notons M le point image de z dans le plan et A le point image de a. Alors : 1. OA = z (distance) 2. AM = z − a 3. Le nombre z¯ a pour image le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses. Proposition 3.3 Soit z = a + ib un nombre complexe, alors — z z¯ = z2 = a2 + b2 . — z = ¯ z = − z = − z¯. — Le module d’un nombre réel est égal à sa valeur absolue. Proposition 3.4 Pour tous nombres complexes z et z 0 , on a : 1. zz 0 = z × z 0 ; 2. z n (Le module d’un produit est le produit des modules) zn pour tout entier naturel n ; 1 1 3. si z 6= 0, z = z ; 0 0 4. si z 6= 0, zz = zz ; = 3 5. z = 0 si et seulement si z = 0. Proposition 3.5 Soit z un nombre complexe, alors 1. Re(z) ≤ z; 2. Im(z) ≤ z; 3. Si Re(z) = z alors z ∈ R ; 4. Si Im(z) = z alors z ∈ iR. Proposition 3.6 inégalité triangulaire Soit z et z 0 deux nombres complexes, alors : z − z 0 ≤ z + z 0 ≤ z + z 0 Mz+z 0 Ri Mz 0 z + z 0 z 0 Mz z R O De plus, il y a égalité z + z 0 = z + z 0 si et seulement s’il existe un nombre réel λ ≥ 0 tel que z = λz 0 ou z 0 = λz. 1.4 1.4.1 Ensemble U des nombres complexes de module 1 Exponentielle d’un imaginaire pur Définition 4.1 La notation eiθ désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument θ : eiθ = cos(θ) + i sin(θ) Proposition 4.2 Soit θ ∈ R, alors le conjugué : (eiθ ) = e−iθ . Exemples. Revenons au cercle trigonométrique, mais vu dans le plan complexe. Si on identifie les points avec leurs affixes, on a : 4 iR π ei i = ei 2 2π 3 π ei 3 π i 3π 4 ei 4 e ei π 5π 6 ei 6 −1 = eiπ 1 = ei0 R 0 e−i π 5π 6 e−i e−i 6 π 3π 4 e−i 4 −i 2π 3 e π −i = e−i 2 −i π 3 e Théorème 4.3 Euler Soit t un nombre réel. Alors : cos(t) = eit + e−it 2 et sin(t) = eit − e−it 2i Un des intérêts de cette écriture : Proposition 4.4 Soit a et b deux nombres réels alors 1. eia × eib = ei(a+b) ; 2. eia eib = ei(a−b) . Remarque. Cette proposition donne lieu à une méthode pour retrouver les formules de trigonométrie. Par exemple : ei(a+b) = eia × eib cos(a + b) + isin(a + b) = (cos(a) + i sin(a)) × (cos(b) + i sin(b)) = (cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)) + i(cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b)) D’où par identification des parties réelles et imaginaires : ( cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) sin(a + b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b) Théorème 4.5 Moivre Soit n un entier relatif et soit θ un réel. Alors eiθ
n = einθ . Autrement dit : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). 1.4.2 Linéarisation, factorisation  θ θ θ Un premier retour sur les formules d’Euler : Soit θ un nombre réel, alors 1 ± eiθ = ei 2 e−i 2 ± ei 2 . Ainsi, en revenant aux formules d’Euler, on déduit que : Proposition 4.6 Soit θ un nombre réel, alors θ 1. 1 + eiθ = 2 cos( 2θ ) ei 2 ; 5 θ 2. 1 − eiθ = −2i sin( 2θ ) ei 2 . Plus généralement, on a Proposition 4.7 Soient a et b deux nombres réels. Alors :
i( a+b ) 1. eia + eib = 2 cos a−b e 2 2
i( a+b ) 2. eia − eib = 2i sin a−b e 2 2 3. −eia = ei(a+π) Par identification des parties réelles et imaginaires dans le premier point de la proposition, on déduit : Proposition 4.8 Soient a et b deux nombres réels, alors a+b 1. cos(a) + cos(b) = 2 cos( a−b 2 ) cos( 2 ) ; a+b 2. sin(a) + sin(b) = 2 cos( a−b 2 ) sin( 2 ) ; Exemple (Linéarisation). 3  it e − e−it 3 sin(t) = 2i
3 eit − e−it = (2i)3
3 eit − e−it = −8i  1  it 3 =− (e ) − 3(eit )2 e−it + 3eit (e−it )2 − (e−it )3 8i  1  i3t e − 3eit + 3e−it − e−i3t =− 8i  1 1  i3t =− × (e − e−i3t ) − 3(eit − e−it ) 4 2i  i3t  e − e−i3t eit − e−it 1 =− × −3 4 2i 2i 1 = − × (sin(3t) − 3 sin(t)) 4 3 1 = sin(t) − sin(3t) 4 4 d’après le théorème d’Euler Exemple (Factorisation). On peut aussi être amené à faire le travail inverse, c’est-à-dire à transformer une fonction de la forme cos(mt) ou sin(mt) en puissances de cos et sin. Pour cela, on utilise la formule de Moivre, dont on prend, selon le cas, la partie réelle ou imaginaire. A titre d’exemple, opérons cette transformation sur cos(3t) : cos(3t) = Re(cos(3t) + i sin(3t))
= Re (cos(t) + sin(t)i)3 Formule de Moivre = Re cos(t)3 + 3 cos(t)2 × (sin(t)i) + 3 cos(t) × (sin(t)i)2 + (sin(t)i)
= Re cos(t)3 + 3 cos(t)2 sin(t)i − 3 cos(t) sin(t)2 − 3 sin(t)3 i = cos(t)3 − 3 cos(t) sin(t)2 = cos(t)3 − 3 cos(t) 1 − cos(t)2
= 4 cos(t)3 − 3 cos(t) = cos(t)(4 cos(t)2 − 3) 6
3 1.4.3 Nombres complexes de module 1 Définition 4.9 On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Proposition 4.10 1. L’ensemble U correspond au cercle trigonométrique dans le plan complexe. 2. Soit z = a + bi. Le nombre z appartient à U si et seulement si a2 + b2 = 1 si et seulement s’il existe un nombre réel θ tel que z = ei θ . 1.5 1.5.1 Arguments d’un nombre complexe non nul Arguments, coordonnées polaires et forme trigonométrique Définition 5.1 Soit z un nombre complexe non nul et soit M l’image de z. On appelle argument de z une mesure de l’angle −−→ − orienté (→ u , OM ). Une telle mesure n’est définie qu’à 2kπ près (k ∈ Z). On écrit alors (2π) après une telle égalité et on lit modulo 2π. Remarque. Un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments. Proposition 5.2 Soit z = a + ib un nombre complexe non nul, notons θ un argument de z et r son module, alors : r= p a2 + b2 , a = r cos θ, b = r sin θ. Autrement dit : z = r ( cos(θ) + i sin(θ) ), ,ou encore : z = reiθ . Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z. Réciproquement si z = r(cos(θ) + sin(θ)) avec r > 0 et θ ∈ R quelconque, alors z = r et arg(z) = θ (2π). Proposition 5.3 Soit M un point d’affixe z non nul, alors il existe un unique couple (r; θ) ∈ R∗+ × [0; 2π[ tel que z soit de module r et d’affixe θ. On dit alors que les coordonnées polaires de M sont (r; θ). Remarque. Comme les coordonnées cartésiennes (x; y) d’un point, les coordonnées polaires (r; θ) permettent de localiser précisément un point du plan. Par contre, pour l’orginie du repère, les coordonnées polaires ne sont pas définies. En effet, lorsque r = 0, on ne peut −−→ − plus mesurer l’angle entre → u et le vecteur nul OM ! 7 Proposition 5.4 Pour tous nombres complexes z et z 0 et tout entier relatif n, on a : 1. arg(z) = 0(π) ⇔ z ∈ R. 2. arg(z) = π2 (π) ⇔ z ∈ iR. 3. arg(zz 0 ) ≡ arg(z) + arg(z 0 ) 4. arg(z n ) ≡ n arg(z) 5. si z 6= 0, 6. si z 6= 0, (2π) ; (L’argument du produit est congru à la somme des arguments) (2π) ; arg( z1 ) ≡ − arg(z) 0 arg( zz ) ≡ arg(z 0 ) − (2π) ; arg(z) (2π) ; Remarque. On notera que la première identité implique que l’argument suit une propriété similaire à la fonction exponentielle. 1.5.2 Transformation de a cos t + b sin t Proposition 5.5 Soit a, b deux nombres réels. Si a + ib = Aei? avec A > 0 alors : ∀t ∈ R : a cos(t) + b sin(t) = A cos(t − ?) 8