Cours fonctions rappel

BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions FONCTIONS Table des matières I Fonctions usuelles I.1 Fonctions en escalier . I.2 Fonctions affines . . . I.3 Fonction logarithme . I.4 Fonction exponentielle I.5 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 6 .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. des fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 9 9 10 10 11 12 . . . . . 12 12 14 14 15 16 IV Étude des variations d'une fonction IV.1 Lien entre dérivation et sens de variation d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Extremum d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Résolution de l'équation f (x) = ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 17 18 http://nathalie.daval.free.fr -1- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II limites II.1 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.1 Limite d'une somme . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.2 Limite d'un produit . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.3 Limite d'un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.4 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées . II.5 Croissance comparée de l'exponentielle, du logarithme et III Dérivation III.1 Nombre dérivé en un point III.2 Fonction dérivée . . . . . . III.3 Dérivées successives . . . . III.4 Opérations . . . . . . . . . III.5 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BTS DOMOTIQUE I 2008-2010 Fonctions Fonctions usuelles I.1 Fonctions en escalier Définition 1 Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles. ? ? -2 ? ? ? Exemple 1 ?6 La fonction définie sur [-8 ; +? [ par f (x) = ?3 ? ? ? ? 1 si -8 <= x < -2 si -2 <= x <= 0 est une fonction en escalier. si 0 < x < 4 si 4 <= x 6 4 2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 -2 I.2 Fonctions affines Définition 2 a et b sont deux réels donnés. La fonction définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d'équation y = ax + b, où : ® Le réel a est le coefficient directeur de cette droite. ® Le réel b est l'ordonnée à l'origine. Une fonction affine est dérivable sur R de dérivée f ? (x) = a. D'où les tableaux de variation suivants : a>0 x signe de f ? (x) a<0 b -a -? +? + variations de f signe de f -? +? - http://nathalie.daval.free.fr 0 + x signe de f ? (x) variations de f signe de f b -a -? +? - +? - 0 + -? -2- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Exemple 2 Le graphique ci-contre représente les droites d'équation : d1 : y = x + 1 d4 d2 d2 : y = 2 1 d3 : y = -3x - 2 0 d4 : x = -1 d5 : y = 1 d5 d1 3 x-3 4 d3 I.3 Fonction logarithme Définition 3 1 La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive de la fonction x -> définie sur ] 0 ; +? [ x qui s'annule en 1. Conséquences directes : o ln(1) = 0, o la fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; +? [ et pour tout x > 0, ln? (x) = 1 . x Propriété 1 Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : o ln(ab) = ln(a) + ln(b). 1 o ln = - ln(a). a a o ln = ln(a) - ln(b). b o ln(an ) = n ln(a). ? 1 o ln ( a) = ln(a). 2 En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications. Exemple 3 Transformations d'expressions numériques et algébriques : 192 16 = ln = ln(16) - ln(9) = ln(24 ) - ln(32 ) = 4 ln(2) - 2 ln(3). 108 9 ? 1 1 1   ln( 96) = ln(96) = ln(25 × 3) = [5 ln(2) + ln(3)]. 2 2 2   ln   ln(x + 3) + ln(2x + 1) = ln[(x + 3)(2x + 1)] = ln(2x2 + 7x + 3) pour x ? - http://nathalie.daval.free.fr 1 ; +? . 2 -3- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Propriété 2 On a les limites importantes suivantes : o lim ln x = -?. o x->0+ lim ln x = +?. x -> +? Conséquence : La droite x = 0 est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln. D'où le tableau de variations et la courbe : n(x) y=l 2 1 x 0 1 f ? (x) +? + +? f I.4 1 2 e3 4 5 6 7 8 -2 -3 -? signe -1 -1 - 0 + -4 -5 Fonction exponentielle Définition 4 La fonction exponentielle, est la fonction définie sur R par exp(x) = ex , ex étant l'unique nombre réel positif dont le logarithme vaut x. Remarque 1 On dit que la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme, ce qui signifie que graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice (y = x) dans un repère othonormal. Conséquences directes : o exp(x) > 0. o exp(1) = e1 = e ? 2, 718. o ln(ex ) = x. o eln x = x pour x > 0. o x ? R et y = ex <==> y ? R* et ln(y ) = x. + http://nathalie.daval.free.fr -4- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Propriété 3 Soient a et b deux réels et n est un entier relatif, alors : o ea+b = ea × eb 1 o a = e-a . e ea o b = ea-b . e o (ea )n = ean . En résumé, l'exponentielle à la particularité de transformer les sommes en produits, les différences en quotients et les multiplications en puissances. (inversement au logarithme !). Exemple 4 Transformations d'expressions numériques et algébriques : 1   e2 × e3 × 4 × (e-2 )-3 = e2+3-4+6 = e7 . e   ex+3 × e2x+1 = e(x+3)+(2x+1) = e3x+4 .   (ex-2 )2 = e2x-4 . Propriété 4 On a les limites importantes suivantes : o lim ex = 0. o x->-? lim ex = +?. x -> +? Conséquence : La droite d'équation y = 0 est donc une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction exp. Propriété 5 La fonction exponentielle est dérivable sur R de dérivée (ex )? = ex . D'où le tableau de variations et la courbe : -? f ? (x) 0 +? + 3 +? f 4 y= x exp( x) 5 2 1 0 signe + http://nathalie.daval.free.fr -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 -5- BTS DOMOTIQUE I.5 2008-2010 Fonctions Fonctions puissance Définition 5 Soit ? un nombre réel, la fonction puissance (d'exposant) ?, notée f? est la fonction qui, à tout nombre x ? R* associe + f? (x) = x? = e? ln x Exemple 5 ? 1 1 1 Dans le cas où ? = , on a f 1 (x) = x 2 = e 2 ln x = x. 2 2 Propriété 6 ? Pour tout ?, la fonction f? est dérivable sur R* de dérivée f? (x) = ?x?-1 . + Sens de variation : Dans le cas où ? = 0, la fonction f0 (x) = x0 = 1 est constante sur R* . + ? Dans le cas où ? = 0, f? (x) = ?x?-1 est du signe de ? sur R* . + D'où les tableaux de variation suivants : ?<0 0 x signe de ?>0 ? f? (x) variations - +? de f? +? 0 x signe de ? f? (x) +? + variations +? de f? 0 signe de f? + 0 signe de f? + Allure des courbes représentatives des fonctions puissance : 4 3 2 x-3 x1 y = x-1 = 3 y y = x-0.5 y = x2 4 0.5 y= 1 0 y=x 2 1 0 1 2 3 http://nathalie.daval.free.fr 4 0 0 1 2 3 4 -6- BTS DOMOTIQUE II II.1 2008-2010 Fonctions limites Interprétation graphique Limite en un point : 5 5 -2 3 3 -3 2 2 -4 1 1 1 2 3 lim f (x) = 1 -2 -1 -1 1 2 3 4 -5 5 -6 lim f (x) = -? lim f (x) = +? x->-2- La courbe admet une asymptote La courbe admet une asymptote verticale d'équation x = 2. verticale d'équation x = -2. x-> 2 x->-3 Il n'y a pas d'asymptote. Limite en +? : 6 1 6 5 5 4 -4 -3 -2 -1 -1 4 3 2 3 lim f (x) = 2 -4 -3 -2 -1 -1 3 -4 1 1 2 -3 2 1 1 -2 3 2 -4 -3 -2 -1 -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 4 4 -4 -3 -2 -1 -1 1 6 6 1 2 -5 3 lim f (x) = +? La courbe admet une asymptote ho- x->+? Il n'y a pas d'asymptote. rizontale d'équation y = 2. x -> +? -6 lim f (x) = -? x -> +? Il n'y a pas d'asymptote. Limite en -? : 6 6 5 5 4 -4 -3 -2 -1 -1 4 3 2 3 lim f (x) = 1 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 http://nathalie.daval.free.fr -5 3 lim f (x) = +? La courbe admet une asymptote ho- x->-? Il n'y a pas d'asymptote. rizontale d'équation y = 1. x->-? 3 -4 1 1 2 -3 2 1 1 -2 3 2 -4 -3 -2 -1 -1 1 -6 lim f (x) = -? x->-? Il n'y a pas d'asymptote. -7- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Définition 6 Soit f une fonction et d la droite d'équation y = ax + b tel que : lim [f (x) - (ax + b)] = 0 x->±? on dit alors que la droite d est une asymptote oblique à la courbe représentative Cf en ±?. Exemple 6 11 Soit f la fonction définie sur R* par f (x) = + x + 1. x2 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 lim x->+? f (x) - 1 x+1 2 = lim x->+? 1 x = 0. La courbe admet une asymptote oblique d'équation y = II.2 1 x + 1. 2 Limites des fonctions usuelles Voici un tableau qui résume les différentes limites des fonctions de référence (la notation « * «signifie qu'il faut appliquer la « règle des signes «). 1 xn n?N x? ? ? R+ *? 0* indéfini lim f (x) 0* *? lim f (x) 0+ lim f (x) +? f (x) xn n?N lim f (x) x->-? x->0- x->0+ x -> +? http://nathalie.daval.free.fr 1 x? ? ? R+ ln x exp x cos x sin x indéfini indéfini 0+ aucune aucune indéfini indéfini indéfini 1- 1- 0- +? 0+ +? -? 1+ 1+ 0+ 0+ +? 0+ +? +? aucune aucune -8- BTS DOMOTIQUE II.3 2008-2010 Fonctions Opérations sur les limites Dans tout ce qui suit, la notation « FI « désigne une Forme Indéterminée, c'est à dire qu'on ne sait pas calculer par une opération élémentaire. II.3.1 Limite d'une somme lim f l l lim g l? lim (f + g) l + l? +? ±? -? -? +? -? FI +? ±? +? -? Exemple 7 Calcul de « sommes « de limites : ? lim ex = 1 ?   x->0 3 lim ex + x3 = 1. lim x = 0 ? x->0 x->0 ? 1 = 0- ? lim 1 lim   x->-? x + x2 = +? 2 ? x->-? x lim x = +? x->-? ? lim ln x = +? ?   x->+? 2 lim ln x + x2 = +?. lim x = +? ? x->+? x->+? ? lim x = -? ?   x->-? 3 lim x + x3 = -?. lim x = -? ? x->-? x->-? ? lim x2 = +? ?   x->-? 3 lim x2 + x3 est une forme indéterminée du type ? - ?. lim x = -? ? x->-? x->-? II.3.2 Limite d'un produit lim f l l=0 lim g l? lim (f × g) l × l? ±? ±? ±? *? *? 0 ±? FI Exemple 8 Calcul de « produit « de limites : ? lim (ex + 3) = 4?   x->0 x lim [(ex + 3) × (ex - 2)] = -4. lim (e - 2) = -1 ? x->0 x->0 ? lim+ (x - 3) = -3 ? 1   x->0 1 lim (x - 3) × = -? ? x->0+ x lim+ = +? x->0 x ? lim (x - 1) = -? ?   x->-? 3 lim [(x - 1) × x3 ] = +?. lim x = -? ? x->-? x->-?   lim (x2 + 1) = x->-? 1 lim = x->-? x ? +? ? 0 - http://nathalie.daval.free.fr ? lim x->-? (x2 + 1) × 1 x est une forme indéterminée du type 0 × ?. -9- BTS DOMOTIQUE II.3.3 2008-2010 Fonctions Limite d'un quotient lim f l lim g f lim g l? Exemple 9 Calcul de « quotients « de limites : ? lim (ex + 3) = 4?   x->0 x lim e - 2) = -1 ? lim x->0 x->0   lim 1 -3 x =       ±? 0 0 =0 l l? l *? ex + 3 ex - 2 ±? ±? 0 ±? 0 *? FI FI l? = e5 . 1 x -3 x2 = 0- . ? ? lim x = +? x->+? ? lim+ x - 4 = -4 ? x-4 x->0 lim+ = -?. +? x->0 x lim+ x =0 x->0 ? lim+ ln x = -? ? ln x x->0 lim = +?. lim+ (x - 1) = -1 ? x->0+ x - 1 x->0 ? lim (x - 1) = -? ? x-1 x->-? lim est une forme indéterminée. 3 ? x->-? x3 lim x = -? x->-? ? lim x2 = 0 ? x2 x->0 lim ? est une forme indéterminée . ? x lim x = 0 ? x->0 x->+? 2   ? ? -3 ? l lim x->+? x->0 II.3.4 Compositions Propriété 7 Soient deux fonctions : f définie de I dans J et g de J dans R. ? Si ? lim f (x) = b ? x-> a lim g(x) = c ? ? alors lim (g o f )(x) = lim g[f (x)] = c. x-> a x-> a x-> b Exemple 10 Calcul de "composition" de limites : lim (x + 3) =   x->-?   ? -? ? x->+? lim 0? X ->-? ? lim (2x + 1) = +? ? = lim x->-? ex+3 = 0. lim ln(2x + 1) = +?. = +? ? x->+? ? lim (x + 4) = 4 ? ? x->0 ? lim x + 4 = 2. x->0 lim X = 2? lim x->+?   eX ln X X ->4 http://nathalie.daval.free.fr -10- BTS DOMOTIQUE II.4 2008-2010 Fonctions Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées Dans ce cas, toutes les situations sont a priori possibles : existence d'une limite finie, nulle ou non ; existence d'une limite infinie ; absence de limite. Seule une étude particulière permet de lever l'indétermination. Rappelons pour commencer les cas d'indétermination des limites : lim f (x) lim g(x) Limite indéterminée type d'indétermination +? -? f (x) + g(x) ?-? 0 0 ±? ±? 0 ±? f (x) × g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) 0×? 0 0 ? ? Exemple 11 Indétermination du type « ? - ? « : ? lim 3x2 = +? ?   x->+? lim (3x2 - x) est une forme indéterminée du type ? - ?. lim -x = -? ? x->+? x->+? 1   On met x2 en facteur : f (x) = 3x2 - x = x2 3 - . x ? lim x2 = +? ? ? x->+?   d'où lim f (x) = +?. 1 x->+? lim 3- = 1? ? x->+? x Remarque 2 De manière générale, le comportement d'une fonction polynomiale en ±? est dictée par le comportement de son terme de plus haut degré en ±?. Exemple 12 ? Indétermination du type « «: ?   ? lim (x2 + 2x + 1) = +? ? x->+? lim (2x - 3) 2 x->+? = +? ? lim x->+? x2 + 2x + 1 2x2 - 3 est une forme indéterminée du type « ? «. ?   Pour x = 0, on factorise par la puissance de x maximale et on simplifie : 2 1 2 1 x2 1 + + 2 1+ + 2 2 x + 2x + 1 xx x x. f (x) = = = 3 3 2x2 - 3 2 2- 2- 2 x 2 x x ? 2 1 lim 1 + x + x2 = 1? 1   x->+? lim f (x) = . 3 ? x->+? 2 lim 2 - x2 =2 x->+? Remarque 3 De manière générale, le comportement d'une fraction rationnelle en ±? est dictée par le comportement du quotient des deux termes de plus haut degré. http://nathalie.daval.free.fr -11- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Exemple 13 Indétermination du type « 0 × ? « : ? 1 lim = 0?   x->+? x lim (x2 + 1) = +? ? lim x->+? 12 (x + 1) est une forme indéterminée du type « 0 × ? «. x x->+? 12 1 (x + 1) = x + . x x ? +? ? d'où lim f (x) = +?. x->+? 0+ ?   On développe : f (x) = lim x->+?   lim x->+? x 1 x = = Exemple 14 0 Indétermination du type « « : 0 ? lim (x2 - 1) = 0 ?   x->1 lim (x - 1) = 0 ? lim x->1 x->1 x2 - 1 x-1 est une forme indéterminée du type 0 . 0 x2 - 1 (x - 1)(x + 1) = = x + 1. x-1 x-1 donc : lim f (x) = 0.   On factorise : f (x) =   lim (x - 1) = 0 x->1 II.5 x->1 Croissance comparée de l'exponentielle, du logarithme et des fonctions puissance Propriété 8 Pour tout nombre réel ? strictement positif : o lim x -> +? ln x x? = 0. o lim x -> +? ex x? = + ?. L'idée à retenir : Au voisinage de +?, les fonctions x -> ln x, x -> x? et x -> ex prennent des valeurs qui se classent dans cet ordre de la plus petite à la plus grande. III Dérivation Dans cette partie, f est une fonction numérique définie sur un intervalle I , C sa courbe représentative dans un repère. a et x sont deux réels distincts de I III.1 Nombre dérivé en un point On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction f au voisinage d'un point d'une courbe. Exemple 15 Pour h voisin de 0, on a :   (1 + h)2 = 1 + 2h + h2   (1 + h)3 = 1 + 3h + 3h2 + h3   1 h2 =1-h+ 1+h 1+h http://nathalie.daval.free.fr donc, quand h tend vers 0 : (1 + h)2 ? 1 + 2h. donc, quand h tend vers 0 : (1 + h)3 ? 1 + 3h. donc, quand h tend vers 0 : 1 ? 1 - h. 1+h -12- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Définition 7 Soit f une fonction définie en a et au voisinage de a, on dit que f est dérivable en a s'il existe un réel A est une fonction ? tels que, au voisinage de h = 0, on a : f (a + h) = f (a) + Ah + h?(h), avec lim ?(h) = 0. h->0 A est appelé nombre dérivé de f en a. Exemple 16 On considère la fonction définie sur R par f (x) = x2 .   f (a + h) = (a + h)2 = a2 + 2ah + h2 = f (a) + (2a)h + h(h).   Donc, f est dérivable en a de nombre dérivé A = 2a et ?(h) = h de limite nulle en 0. Définition 8 f (x) - f (a) ® Le taux de variation de la fonction f entre a et x est le quotient : . x-a f (a + h) - f (a) . ® Avec x = a + h, ce quotient s'écrit aussi : h ® f est dérivable en a et on note cette dérivée f ? (a) si la limite suivante existe : f (a + h) - f (a) . h->0 h f ? (a) = lim Exemple 17 Soit f définie sur R par f (x) = x2 .   le taux de variation de f entre a et a + h est : f (a + h) - f (a) (a + h)2 - a2 a2 + 2ah + h2 - a2 2ah + h2 = = = = 2 a + h. h h h h ?   donc, f (a) = lim (2a + h) = 2a. h->0   En particulier, f ? (3) = 6, f ? (0) = 0 ... Interprétation graphique : Lorsque h se rapproche de 0, le point M se rapproche du point A. Ainsi, la droite (AM ) se rapproche de la tangente T au point A f ? (a) correspond au coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse a. T f (a + h) f (a) A a http://nathalie.daval.free.fr M a+h -13- BTS DOMOTIQUE III.2 2008-2010 Fonctions Fonction dérivée Définition 9 Soit f une fonction dérivable en tout point x d'un intervalle I , alors la fonction qui à x associe f ? (x) est appelé fonction dérivée de f sur I . On obtient le tableau de dérivation suivant : Fonction f Fonction f ? Ensemble de définition de f k 0 R ax + b 1 x ? x R ex a 1 -2 x 1 ? 2x ?x?-1 1 x ex sin(x) cos(x) R cos(x) - sin(x) R x? ln(x) R* R* + R si ? ? N* ou R* si ? ? Z* ou R* si ? ? R - + R* + R Exemple 18 Calcul de la dérivée des fonctions suivantes :   f (x) = ? f ? (x) = 0 2 1   f (x) = x 3 f ? (x) = 2 x- 3 3 III.3   f (x) = x3   f (x) = x2007 f ? (x) = 3x2 f ? (x) = 2007x2006 Dérivées successives Définition 10 Soit f une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les dérivées successives de f notées : f? , f ?? , f ??? , ... , f (n) . Exemple 19 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x3 - x2 + x + 3.   f ? (x) = 6x2 - 2x + 1.   f ?? (x) = 12x - 2.   f ??? (x) = 12.   f (4) = 0. En physique et en mécanique, on utilise la notation différenteielle : Exemple 20 Dans un circuit R, L, C en série, on a :   i= R df = f? dx L et d2 f = f ?? dx2 C dq . dt   e = -L di . dt   donc : e = -L d2 q . dt2 http://nathalie.daval.free.fr -14- BTS DOMOTIQUE III.4 2008-2010 Fonctions Opérations u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I . Opération Fonction Dérivée Addition u+v u? + v ? Multiplication par un nombre k × u avec k ? R k × u? Multiplication u×v eu Puissance u? × v + u × v ? u? eu u? u u? cos(u) un u v 1 v f og Division Inverse Fonction composée exponentielle logarithme ln(u) sinus sin(u) cosinus n × u? × un-1 u? × v - u × v ? v2 ? v -2 v f ? o g × g? cos(u) -u? sin(u) Exemple 21 Calcul de dérivées :   f (x) = x3 + x + 3 : On utilise la formule (u + v )? = u? + v ? avec u(x) = x3 et v (x) = x + 3. on obtient f ? (x) = 3x2 + 1.   f (x) = 3(x2 + 4) : on utilise la formule (ku)? = ku? avec k = 3 et u(x) = x2 + 4. on obtient f ? (x) = 6x.   f (x) = (-2x + 3)(5x - 3) : On utilise la formule (uv )? = u? v + uv ? avec u(x) = -2x + 3 et v (x) = 5x - 3. on obtient f ? (x) = -20x + 21.   f (x) = (2x - 7)2 : on utilise la formule (u2 )? = 2uu? avec u(x) = 2x - 7. on obtient f ? (x) = 4(2x - 7). 3x - 4 : On utilise la formule x2 + 3 -3x2 + 8x + 9 on obtient f ? (x) = . (x2 + 3)2   f (x) = 1 : On utilise la formule -3x + 1 3 on obtient f ? (x) = . (-3x + 1)2   f (x) = u v ? 1 v = u? v - uv ? avec u(x) = 3x - 4 et v (x) = x2 + 3. v2 ? =- v? avec v (x) = -3x + 1. v2   f (x) = e3x+1 : On utilise la formule (eu )? = u? eu avec u(x) = 3x + 1. on obtient f ? (x) = 3 e3x+1 . u?   f (x) = ln(-2x + 5) : On utilise la formule (ln u)? = avec u(x) = -2x + 5. u -2 on obtient f ? (x) = . -2x + 5   f (x) = cos(2x + 1) : On utilise la formule cos? (u) = -u? sin(u) avec u(x) = 2x + 1. on obtient f ? (x) = -2 sin(2x + 1). http://nathalie.daval.free.fr -15- BTS DOMOTIQUE III.5 2008-2010 Fonctions Équation de la tangente Propriété 9 Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et dérivable en a ? I . La tangente Ta en a à la courbe Cf a pour équation : Ta : y = f ? (a)(x - a) + f (a). Exemple 22 Soit f (x) = x2 + 2. Les équations des tangentes en 0 et en -1 sont :   f ? (x) = 2x   f ? (0) = 0 donc T0 : y = 0 × (x - 0) + f (0) = 2.   f ? (-1) = -2 donc T-1 : y = -2 × (x + 1) + f (-1) = -2x + 1. IV Étude des variations d'une fonction IV.1 Lien entre dérivation et sens de variation d'une fonction L'idée est qu'il y a un lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente de la courbe C et le sens de variation de la fonction f . Propriété 10 On suppose que f est dérivable sur I . o f est croissante sur I <==> f ? (x) 0 pour tout x ? I . f ? (x) = 0 pour tout x ? I . o f est décroissante sur I <==> f ? (x) o f est constante sur I <==> 0 pour tout x ? I . Il est donc possible de déterminer les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée. Exemple 23 Étude d'une fonction polynôme : Soit f (x) = 2x3 - 3x2 - 12x - 1, définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation :   Pour tout réel x on a f ? (x) = 6x2 - 6x - 12 = 6(x2 - x - 2).   On détermine le signe de x2 - x - 2 en cherchant ses racines et on trouve -1 et 2. f ? (x) = 6(x + 1)(x - 2) est positive sauf entre ses racines -1 et 2.   On peut déterminer le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction f : x signe de f (x) ? -? + -1 0 6 variations de f -? ? 2 - ? 0 -21 + ? +? +?   f est croissante sur ] - ? ; -1 ] et sur [ 2 ; +? [ et décroissante sur [ -1 ; 2 ]. http://nathalie.daval.free.fr -16- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Exemple 24 Etude d'une fonction logarithme : Soit g (x) = 2x2 + 1 - ln x, définie et dérivable sur R* . Déterminons son sens de variation : + 1 4x2 - 1 (2x + 1)(2x - 1) = = . x x x   On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction g :   Pour tout réel x > 0 on a g ? (x) = 4x - 1 2 0 x 2x + 1 + + 2x - 1 - 0 + + + signe de g (x) - 0 + x ? variations de g   g est décroissante sur 0; +? 1 2 +? et croissante sur ? 3 2 ? + ln 2 +? 1 ; +? . 2 Exemple 25 Etude d'une fonction exponentielle : Soit h(x) = (x + 2) e-x , définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation :   Pour tout réel x on a h? (x) = 1 × e-x + (x + 2) × (-e-x ) = (1 - x - 2) e-x = (-x - 1) e-x .   On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction h : x -x - 1 e -? + -1 + signe de h (x) ? + -x 0 e variations de h -? ? - +? + - ? 0   h est croissante sur [-? ; -1 ] et décroissante sur [-1 ; +? [. IV.2 Extremum d'une fonction Propriété 11 f est une fonction dérivable sur l'intervalle I . Si f admet un extremum (minimum ou maximum) en a distinct des extrémités de I , alors f ? (a) = 0. Remarque 4 Attention, la réciproque n'est pas vraie : le fait que f ? (a) = 0 n'implique pas forcément qu'il existe un extremum en a. http://nathalie.daval.free.fr -17- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions y = x3 Exemple 26   La fonction f (x) = x3 est définie et dérivable sur R. -1   f ? (x) = 3x2 donc, f ? (0) = 0 mais f n'admet ni minimum, ni maximum en 0. -1 Remarque 5 La tangente à la courbe en un point a où f ? (a) = 0 est parallèle à l'axe des abscisses. IV.3 Résolution de l'équation f (x) = ? Propriété 12 Si f est une fonction continue, dérivable et strictement croissante [resp. décroissante] sur un intervalle [ a; b ] alors, pour tout ? ? [ f (a); f (b) ] [resp. [ f (b); f (a) ]], l'équation f (x) = ? admet une solution unique sur l'intervalle [ a; b ]. B f (b) ? f (a) A a x b Exemple 27 Soit f (x) = x3 + x + 1 = 0, f est définie et dérivable sur R. Résolvons l'équation f (x) = 0 à 10-1 près.   Pour tout réel x on a f ? (x) = 3x2 + 1.   f ? est strictement positive sur R, on en déduit que f est strictement croissante sur R.   on calcule f (-1) = -1 et f (0) = 1.   D'après le théorème, 0 ? [ f (-1); f (0) ] = [ -1; 1 ], l'équation f (x) = 0 admet donc une solution unique dans l'intervalle [-1; 1 ].   A la calculatrice, on trouve f (-0, 7) = -0, 043 < 0 et f (-0, 6) = 0, 184 > 0.   La racine vaut donc -0, 7 à 10-1 près. http://nathalie.daval.free.fr -18-