combinatoire, analyse - mathématiques.

combinatoire, analyse - mathématiques. 1 PRÉSENTATION combinatoire, analyse, partie des mathématiques qui étudie les différentes façons de grouper, d'associer un nombre fini d'objets, ou éléments, ou d'en choisir certains parmi un ensemble donné. Plus précisément, l'analyse combinatoire se préoccupe de compter (ou dénombrer) et d'énumérer ces groupements ou ces choix. Il existe trois types importants de groupements qui jouent un grand rôle dans de nombreuses branches des mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités et en statistiques : les permutations, les arrangements et les combinaisons. 2 PERMUTATIONS On appelle permutation de n objets chacune des façons de ranger ou d'ordonner ces n objets. Pour en donner un exemple, considérons un petit paquet de cartes contenant seulement le valet (V), la dame (D), le roi (R) et l'as (A) de coeur. L'ordre dans lequel les cartes sont distribuées est une permutation. Il existe 24 permutations possibles de ces 4 cartes : VDRA, VDAR, VRAD, VRDA, VADR, VARD, DVRA, DVAR, DRAV, DRVA, DAVR, DARV, RDVA, RDAV, RVAD, RVDA, RADV, RAVD, ADRV, ADVR, ARVD, ARDV, AVDR, AVRD. Pour déterminer le nombre de ces différentes permutations, on peut raisonner ainsi : la première carte distribuée peut être l'une quelconque des 4 cartes ; la deuxième carte peut être l'une des 3 cartes restantes ; la troisième carte est l'une des 2 restantes et la dernière est donc la quatrième carte. On obtient ainsi le nombre total de permutations : 4 × 3 × 2 × 1 = 24, ce qu'on écrit également 4 ! (« factorielle quatre «). De façon générale, le même raisonnement montre que, pour n objets, il existe n ! permutations. n ! représente le produit de tous les entiers positifs de 1 à n ; par convention, 0 ! est égal à 1. 3 ARRANGEMENTS On appelle arrangement de k objets pris parmi n, chacun des groupements ordonnés de k objets choisis sans répétition parmi les n. Reprenons l'exemple du petit paquet de 4 cartes (V, D, R, A). Les arrangements de 2 cartes prises parmi ces 4 sont : VD, VR, VA, DV, DR, DA, RV, RD, RA, AV, AD et AR, soit 12 arrangements. On peut retrouver ce résultat en raisonnant comme pour les permutations. Pour la première carte, il y a 4 choix possibles et, pour chacun de ces 4 choix, il y a 3 choix pour la deuxième carte, soit au total 4 × 3 = 12. Mais, par ailleurs : 4 × 3 = (4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1), c'est-à-dire le quotient 4 ! / 2 !. De façon plus générale, on démontre que le nombre d'arrangements de k objets pris parmi n, nombre noté 4 , est : COMBINAISONS On appelle combinaison de k objets pris parmi n chacun des groupements de k objets sans considération de l'ordre dans lequel ils sont rangés ou choisis. Dans l'exemple des cartes à jouer, on est en fait davantage intéressé par les combinaisons de cartes distribuées, ou mains, plutôt que par l'ordre dans lequel les cartes ont été reçues. Le nombre de mains possibles est alors le nombre de façons différentes de distribuer cette main, divisé par le nombre de permutations d'une main. Par exemple, il y a façons de distribuer 4 cartes d'un jeu de 52 cartes, 4 ! façons d'ordonner ces 4 cartes. Le nombre de mains possibles est donc : De façon plus générale, le nombre de combinaisons de k objets (sans tenir compte de l'ordre de ces objets) pris dans un ensemble de n objets est noté Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés. et est donné par la formule :