Chapitre 1 : Dérivées et primitives

Chapitre 1 : Dérivées et primitives   I) Dérivation   1) Définitions   ·        Soit f une fonction définie sur un ensemble D Soit a appartient à D On dit que f est dérivable en a lorsque :  lim h --> 0 (f(a+h) – f(a)) / h  existe et est un réelle. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et notée  f ’(a)   ·        Tangente à la représentation graphique de f Si f est dérivable en a, alors la courbe représentative de f admet au point A d’abscisse a une tangente de coefficient directeur f ’(a)   T : y = f ‘(a) (x – a) + f (a)                  2) Dérivabilité des fonctions usuelles         ·        Toute fonction polynôme est dérivable sur R ·        Toute fonction rationnelle (= quotient de polynômes) est dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition ·        La fonction racine carrée est dérivable sur ] 0 ; + ¥ [, R+ *   3) Dérivée des fonctions usuelles   f (x)     f est dérivable sur     f ‘(x) K (cte)     R     0 x     R     1 1/x     R*     -1/x² xn (n entier relatif ¹ 0)     n > 0 sur R n < 0 sur R*     n xn-1 Öx     ] 0 ; + ¥ [     ½ Öx sin x     R     cos x cos x     R     - sin x tan x               4) Formulaires de dérivation   Soient f et g deux fonctions dérivable sur un intervalle I   Alors f + g est dérivable sur I et (f + g)’ = f ’+ g’ f * g                                 (f * g)’ = f ’g + fg’ k * f                                 (k * f)’ = k * f ’ 1/f   (fx) ¹ 0                     (1/f)’    = -f ’/f² f/g   (gx) ¹ 0                    (f/g)’    = (f’g – fg’) / g²   5) Dérivation d’une fonction composée            Théorème (admis)                   Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I Soit f  une fonction dérivable sur un intervalle J   avec u(I) est inclus dans J (c’est à dire que pour tout x de I, u(x) appartient à J)                     f ° u est dérivable sur I et (f ° u)’(x) = f ’(u(x)) * u’(x) pour tout x de I     (f ° u)’ = f’(u) * u’     Conséquence 1: Dérivée de Öu   Si u est dérivable sur I et strictement positive sur I, alors Öu est dérivable sur I et (Öu)’= u’/2Öu   Conséquence 2 : Dérivée de un   Si u est dérivable sur I, et si n est positif alors un est dérivable sur I. Si n est négatifs et u ne s’annule pas sur I alors un et (un)’ = n*un-1 * u’    II) Primitives                1) Définition             ·          Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive  de I lorsque :                    * F est dérivable sur I       * F’(x) = f(x) pour tout (x) de I                Théorème (admis)                    toute fonction dérivable sur I admet des primitives sur I.   2) Ensemble des primitives d’une fonction   ·                  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I Soit F une primitive de f sur I La fonction G définie par G(x) = F(x) + K est aussi une primitive de f   ·    Réciproquement, si F et G sont deux primitives de f sur I, alors  G’(x) =  F’(x) = f(x) pour tout x de I           G’(x) – F’(x) = 0 pour tout x de I            (G – F)’(x) = 0 donc (G – F)(x) = K   D’où le Théorème :   Soit f une fonction dérivable sur I Soit F une primitive de f sur I G est une primitive de f sur I si et seulement si il existe un réel k tel que : G(x) = F(x) + K pour tout x de I   3) Primitive prenant une valeur donnée   Théorème : f est dérivable sur I                  Soit x0 appartient à I, soit y0 appartient à R                  f admet une primitive et une seule, G(x0) = y0   4) Primitives usuelles   f(x)     F(x) k     kx x     x²/2 n¹-1   xn     xn+1/(n+1) 1/x²     -1/x² 1/Ö(x)     2Öx cos x     sin x sin x     -cos x   5) Formules usuelles a) Somme   Si F  est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F+G est une primitive de f+g sur I.   b) Primitive de kf où k appartient à R   Si f est une primitive de f sur I et si k appartient à R, alors kf est une primitive de kf sur I.   c) u fonction dérivable sur I       u² a pour dérivée 2u.u’ a pour primitive u²       donc 2u.u’ a pour primitive u²       u.u’ a pour primitive u²/2         un a pour dérivée n.un-1.u’       donc n.un-1.u’ a pour primitive un       un-1.u’ a pour primitive un/n        un.u’ a pour primitive un+1/(n+1)   d) 1/u a pour dérivée –u’/u²     -u’/u² a pour primitive 1/u      u’/u² a pour primitive –1/u   e) Ö(u) a pour dérivée u’/2Ö(u)     donc u’/2Ö(u) a pour primitive 2Ö(u) (+k)   u’/Ö(u) pour primitive 2Ö(u)