base - mathématiques.

base - mathématiques. 1 PRÉSENTATION base (mathématiques), nombre des symboles, appelés chiffres, nécessaires dans un système de numération pour exprimer tout nombre. Ainsi, le système de numération décimale, adopté par la plupart des pays, se compose de dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Il s'agit donc d'un système de base 10. Les peuples et les civilisations ont connu différents systèmes de numération. Aujourd'hui, dans la totalité des pays, on utilise le système décimal. En fait, d'un point de vue strictement mathématique, tout nombre entier supérieur à 1 peut être pris comme base. Les Babyloniens utilisaient le système sexagésimal (base 60), les Romains se servaient parfois d'un système duodécimal (base 12), les Mayas employaient un système vicésimal (base 20), etc. Quant au système binaire (base 2), il est aujourd'hui utilisé dans les ordinateurs. 2 ÉCRITURE ET TRANSCRIPTION Dans le système binaire, deux chiffres (0 et 1) suffisent pour représenter un nombre. Il faut 6 chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5) pour exprimer un nombre dans le système à base 6. Quant au système hexadécimal, il utilise 16 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (dix), B (onze), C (douze), D (treize), E (quatorze) et F (quinze). Par exemple, le nombre 30 155 dans le système à base 6 correspond au nombre (3 × 64) + (0 × 63) + (1 × 62) + (5 × 61) + (5 × 60) = 3 959 dans le système décimal. De la même manière, le nombre 2EF du système hexadécimal correspond au nombre (2 × 162) + (14 × 161) + (15 × 160) = 751 dans le système décimal. Pour transcrire un nombre n exprimé en base 10 en un nombre en base b, il suffit de diviser n par b, puis de diviser ce quotient par b, puis le nouveau quotient obtenu par b, et ainsi de suite jusqu'à obtention du quotient 0 (voir Division). Les restes successifs sont les chiffres de n exprimés en base b. Par exemple, pour exprimer 3 959 (base 10) en base 6, on écrit : On a donc : 3 95910 = 30 1556. (La base est souvent écrite de cette manière, en indice.) Plus la base est élevée, plus elle nécessite de symboles, mais moins il faut de chiffres pour exprimer un nombre donné. 3 SYSTÈME BINAIRE Le système binaire joue un rôle important en informatique. Les 20 premiers nombres de la numération binaire sont 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1 000, 1 001, 1 010, 1 011, 1 100, 1 101, 1 110, 1 111, 10 000, 10 001, 10 010, 10 011, 10 100. Dans ce système, tout nombre peut s'exprimer comme la somme de différentes puissances de deux. Par exemple 10 101 101 représente (1 × 20) + (0 × 21) + (1 × 22) + (1 × 23) + (0 × 24) + (1 × 25) + (0 × 26) + (1 × 27) = 173. Dans le système binaire, les opérations arithmétiques sont extrêmement simples. Les règles de base sont les suivantes : 1 + 1 = 10, et 1 × 1 = 1. Le nombre 0 joue son rôle habituel d'élément neutre pour l'addition (1 + 0 = 1) et d'élément absorbant pour la multiplication (1 × 0 = 0). L'addition, la soustraction et la multiplication s'effectuent de la même manière que dans le système décimal : Comme deux chiffres (appelés bits en informatique) suffisent dans le système binaire, cette numération est utilisée dans les ordinateurs, où tout nombre binaire peut, par exemple, correspondre aux positions d'une série d'interrupteurs marche-arrêt (on-off). La position marche (on) correspond à 1 et la position arrêt (off) à 0. On peut également utiliser des zones magnétisées sur une bande ou sur un disque magnétique pour représenter des nombres binaires : une zone magnétisée correspond au chiffre 1 et son absence indique le chiffre 0. Dans les ordinateurs, des circuits logiques effectuent les différentes opérations arithmétiques sur les nombres écrits dans le système binaire. La conversion des nombres décimaux en nombres binaires destinés au traitement informatique s'effectue électroniquement, tout comme celle des nombres binaires en nombres décimaux employés pour exprimer le résultat en sortie. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.