arc - mathématiques.

arc - mathématiques. 1 PRÉSENTATION arc (mathématiques), portion continue d'un cercle ou plus généralement d'une courbe située entre deux de ses points. Le segment ayant pour extrémités ces deux points est appelé corde. Si la courbe est une ligne simple fermée telle qu'un cercle ou une ellipse, alors ce n'est plus un mais deux arcs qui sont ainsi définis. 2 NOTATIONS Usuellement, un arc entre deux points A et B est noté . Lorsqu'il y a ambiguïté, comme sur un cercle où l'intersection d'une corde définit deux arcs, ces derniers sont alors notés pour le plus petit, et pour le plus grand, M étant un point quelconque du grand arc de cercle. 3 MESURE D'UN ARC DE CERCLE La mesure d'un arc de cercle correspond à celle de l'angle au centre qui le sous-tend. Elle s'exprime selon l'unité choisie en degré, grade ou radian. Sur la figure 1 ci-dessous, cette mesure de l'arc 4 correspond à l'angle ?. LONGUEUR D'UN ARC DE CERCLE La longueur d'un arc de cercle représente la partie de la circonférence du cercle comprise entre les deux extrémités de cet arc. Ainsi, la longueur s d'un arc de cercle varie avec le rayon R de ce cercle, contrairement à sa mesure qui n'en dépend pas. Si ? représente une mesure de l'arc en radians, on peut alors écrire : = s = R.? Si l'angle ? est exprimé en degrés ou en grades, l'égalité ci-dessus prend alors d'autres formes : Si ? s'exprime en degrés : = (?/360).2pR Si ? s'exprime en grades : = (?/400).2pR Ces trois formules permettent ainsi de trouver la mesure d'un arc connaissant sa longueur ou réciproquement. Par exemple, si ? = 36° et R = 3 cm, alors : = (36/360).2p.3 = 1,885 cm 5 ARCS PARAMÉTRÉS Dans un système orthonormé (O, , ), un arc paramétré est défini par deux fonctions f(t) et g(t), où t est une variable, telles que l'équation de l'arc s'écrive : f(t) + g(t) . En tout point de l'arc, on définit deux vecteurs unitaires, l'un tangent à la courbe, appelé , l'autre perpendiculaire à , appelé vecteur normal . Cette représentation est utilisée pour définir la courbure (voir ci-dessous) et en cinématique pour étudier le déplacement d'un point ou d'un corps (t représente alors le temps). Le vecteur vitesse est alors colinéaire à , et l'accélération peut se décomposer en composante tangentielle et composante normale. 6 DÉFINITION D'UNE COURBE Une courbe peut être assimilée à la succession de minuscules arcs de cercles placés les uns à la suite des autres, chacun de ces cercles possédant par conséquent un rayon et un centre propres. C'est pourquoi il est possible de définir en tout point de la courbe un rayon de courbure R, qui correspond au rayon du cercle qui le porte. Ce rayon est déterminé par la formule suivante : d correspond à une petite variation du vecteur tangent à la courbe (voir Infinitésimal, calcul), tandis que ds représente une petite variation de la longueur s de l'arc, appelée également abscisse curviligne. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.