algèbre - mathématiques.

algèbre - mathématiques. 1 PRÉSENTATION algèbre, branche des mathématiques qui étudie la résolution d'équations à l'aide de symboles (algèbre classique) et les structures mathématiques telles que les groupes, anneaux et corps (algèbre moderne). L'algèbre linéaire, qui s'intéresse à la structure d'espace vectoriel et aux notions associées, constitue une extension de l'algèbre moderne. L'algèbre classique permet d'exprimer des relations mathématiques de façon générale. Considérons, par exemple, le théorème de Pythagore, qui stipule que, dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le plus long côté du triangle) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. L'algèbre permet d'écrire une formule générale qui exprime les conditions de ce théorème : a2 + b2 = c2, alors que l'arithmétique fournit seulement des exemples particuliers de cette formule (par exemple, 32 + 42 = 52). L'algèbre classique permet ainsi de résoudre des équations au moyen de symboles alphanumériques et de signes d'opération en établissant les règles de manipulation de ces symboles. L'algèbre moderne peut être considérée comme un prolongement de l'algèbre classique, s'attachant plus particulièrement aux structures mathématiques que sous-tend la théorie des ensembles. Cet outil permet de caractériser et de comparer des classes d'objets apparentés et reliés par des lois. Ainsi, sous sa forme la plus générale, l'algèbre peut être assimilée au langage des mathématiques. 2 HISTORIQUE 2.1 Origines de l'algèbre L'histoire de l'algèbre commence en Mésopotamie et en Égypte, plus de trois mille ans avant notre ère. En effet, les mathématiciens cherchent déjà, à cette époque, à résoudre des équations linéaires (de la forme ax = b) et des équations du second degré (de la forme ax2 + bx = c), ainsi que les équations indéterminées (de la forme x2 + y2 = z2), qui relient plusieurs inconnues entre elles. Vers 350 apr. J.-C., Diophante s'inspire des connaissances babyloniennes et égyptiennes pour rédiger son ouvrage Arithmetica, qu'on peut considérer comme le premier exposé méthodique d'algèbre. Il y introduit un grand nombre d'abréviations et de symboles, qui forment la base de l'algèbre classique. 2.2 Algèbre arabe Par la suite, l'algèbre trouve un foyer d'accueil dans le monde islamique, où elle est considérée comme la « science de la réduction de l'arithmétique en une forme plus parfaite «. Au IXe siècle, le mathématicien arabe Al-Khuwarizmi élabore l'un des premiers traités d'algèbre, en rédigeant un exposé systématique de la théorie des équations, avec exemples et démonstrations à l'appui. Dans cet ouvrage, il emploie les termes d' al-djabr et d'al-muqabala : le premier, qui a donné « algèbre « en français, signifie « réparation « ou « remplissage «, et définit l'opération de transposition dans une équation, opération qui consiste à ajouter un même nombre de chaque côté de l'égalité ou de l'inégalité. Le second terme, qui veut dire « mise en opposition « ou « balancement «, caractérise l'opération consistant à réduire les termes semblables de chaque côté de l'égalité ou de l'inégalité, puis à simplifier l'équation en divisant par un même nombre les deux termes. Aujourd'hui, cette méthode est encore enseignée dans les écoles. Vers le XIe siècle, les mathématiciens arabes manipulent les puissances xn de l'inconnue x et, sans utiliser le symbolisme moderne, connaissent l'algèbre fondamentale des polynômes : ils savent multiplier, diviser les polynômes et en déterminer certaines racines. Omar Khayam a montré comment exprimer les racines des équations du troisième degré au moyen de segments obtenus par certaines intersections de coniques. Cependant, il n'a pu donner de formule générale permettant de trouver ces racines. Une traduction latine du livre d'Al-Khuwarizmi, diffusée à partir du XIIe siècle en Europe, bouleverse les méthodes des mathématiciens de l'époque. Ainsi, au début du XIIIe siècle, Leonardo Fibonacci s'en inspire probablement pour obtenir une bonne approximation des solutions de l'équation du troisième degré x3 + 2x2 + cx = d. 2.3 Essor de l'algèbre classique C'est au XVIe siècle que se met en place un véritable langage algébrique, celui des lettres et des symboles tel qu'il est encore employé aujourd'hui. Ce langage, dont l'initiative revient à François Viète, permet ainsi aux mathématiciens italiens Scipione Del Ferro, Niccolò Fontana Tartaglia et Jérôme Cardan d'exprimer les solutions de l'équation générale du troisième degré en fonction des constantes de l'équation. Puis, en 1545, l'ancien élève de Cardan, Ludovico Ferrari, détermine une solution exacte pour les équations du quatrième degré. En publiant, en 1637, la Géométrie, René Descartes est également influencé par la symbolisation de Viète, son traité s'apparentant en effet davantage à un exposé d'algèbre qu'à un ouvrage de géométrie pure. Il consacre aussi un chapitre à la théorie des équations et, en particulier, à la loi des signes, loi permettant de compter le nombre de racines d'une équation en distinguant les racines « vraies « (racines réelles) des racines « fausses « (racines complexes). Par ailleurs, Descartes reste le fondateur de la géométrie analytique, science qui ramène l'étude de problèmes géométriques à celle de problèmes algébriques. L'étude des équations se poursuit jusqu'au XVIIIe siècle, les mathématiciens s'évertuant à résoudre des équations algébriques de degré supérieur ou égal à cinq. En 1799, Gauss établit la preuve d'un célèbre théorème dont la démonstration avait jusque-là résisté à d'illustres mathématiciens. Appelé théorème fondamental de l'algèbre, celui-ci stipule que le nombre des racines complexes d'une équation algébrique est égal au degré de cette équation. 2.4 Naissance de l'algèbre moderne Le début du XIXe siècle marque un tournant dans l'histoire de l'algèbre, qui entre alors dans sa phase moderne. En effet, l'attention des mathématiciens se déplace peu à peu vers l'étude d'ensembles mathématiques abstraits, laissant de côté la résolution d'équations polynomiales concrètes. Ainsi, les fondateurs de l'algèbre moderne, comme les Français Évariste Galois et Augustin Cauchy, le Britannique Arthur Cayley et les Norvégiens Niels Henrik Abel et Sophus Lie, s'attachent à définir des structures mathématiques telles que les groupes, les anneaux ou les corps, ensembles d'éléments régis par des lois précises. Ces types d'ensembles constituent les principaux concepts unificateurs des mathématiques du XIXe siècle. Par ailleurs, la représentation géométrique des nombres complexes permet à l'Allemand Hermann Grassmann et à l'Irlandais William Rowan Hamilton de dégager les règles du calcul vectoriel et d'utiliser les outils proposés par l'algèbre linéaire pour la résolution de problèmes à n dimensions. Aujourd'hui, l'algèbre moderne poursuit son développement, grâce à la création de nouvelles structures abstraites et à l'intervention de la topologie. 3 SYMBOLES ET TERMES SPÉCIFIQUES Les symboles utilisés en algèbre comportent des chiffres, des lettres, ainsi que des signes ou symboles désignant les différentes opérations arithmétiques, le regroupement des opérations et les égalités ou inégalités. Les chiffres représentent toujours des constantes, tandis que les lettres peuvent correspondre à des constantes ou à des variables. Les lettres utilisées pour représenter les constantes sont choisies dans le début de l'alphabet ( a, b, c, etc.), alors que les variables sont généralement écrites avec les lettres de la fin (x, y, etc.). Cette convention n'est absolument pas obligatoire, mais elle permet simplement une lisibilité accrue. 3.1 Symboles d'opération et de regroupement Les principaux signes d'opération en algèbre sont issus de l'arithmétique : ils correspondent à l'addition (+), la soustraction (-), la multiplication (×) et la division (÷). La multiplication peut également être notée par un point, comme dans l'expression a.b, voire par une omission de signe. Ainsi, une succession de symboles telle que l'expression abc, correspond au produit de a par b et par c. Les fractions sont indiquées par une barre horizontale ou oblique qui sépare le numérateur, situé au-dessus de (ou avant) cette barre, du dénominateur, situé en dessous (ou après). La manière de regrouper les symboles algébriques et de déterminer la séquence des opérations arithmétiques est déterminée par des symboles isolant les expressions algébriques : les parenthèses ( ), les crochets [ ], les accolades { }. Par exemple, on peut écrire : {4 - [7 - (2.3)]} + 2 = 5. 3.2 Ordre des opérations On effectue d'abord les multiplications et les divisions, suivies des additions et des soustractions. Le groupement des symboles indique l'ordre dans lequel s'effectuent les opérations : on effectue d'abord toutes les opérations à l'intérieur des groupes prioritaires, sachant que les parenthèses ont priorité sur les crochets, qui ont eux-mêmes priorité sur les accolades. Ainsi, l'écriture a × {[(b + c) × (d + e)] - (f - g)} indique qu'il faut faire dans un premier temps les opérations (b + c), (d + e) et (f g), puis multiplier les résultats des premier et deuxième termes entre eux, y soustraire le résultat du troisième, et multiplier enfin le tout par a. De même, l'expression ax + b / c - dy indique que ax, b / c et dy sont des termes séparés, alors que (ax + b) / (c - dy) représente la fraction 3.3 Définitions diverses Toute expression contenant la relation d'égalité (et donc le symbole =) se nomme équation, tandis qu'une expression faisant intervenir les symboles <, >, >= ou <= est appelée inéquation ( voir inégalité). Un terme est une expression algébrique composée uniquement de produits de constantes et de variables tels que : 2x, - a, ? 4x, x2 (2zy)3, etc. s Une expression est appelée monôme si elle ne contient qu'un terme, binôme si elle en comporte deux, et trinôme si elle en possède trois. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Par exemple, un polynôme général de degré n peut s'écrire sous la forme : a0 + a1X + a2X2 + a3X3 + ... + anXn. Le degré du polynôme représente l'exposant le plus élevé de tous ses termes. Par exemple, si l'exposant le plus élevé d'un polynôme est égal à 3, comme dans l'expression aX3 + bX2 + cX, on dit alors que ce polynôme est de degré 3. De la même manière, l'expression Xn + Xn-1 + Xn-2 est de degré n. En général, on note un polynôme en utilisant la variable X, tandis que l'équation polynomiale associée est écrite à l'aide de l'inconnue x. Par exemple, on parle du polynôme 2X2 + 1, alors qu'on manipule l'équation 2x2 + 1 = 0, ou l'expression algébrique 2x2 + 1. Une équation linéaire est une équation polynomiale de degré 1, c'est-à-dire de la forme ax + b = 0. De telles équations sont appelées équations linéaires car leur représentation graphique dans un repère orthonormé présente la forme d'une ligne droite. Une équation du second degré à une variable, appelée parfois équation quadratique, correspond à une équation polynomiale de degré 2, c'est-à-dire de la forme ax2 + bx + c = 0. 4 POLYNÔMES 4.1 Addition et multiplication L'ensemble des polynômes peut être muni des opérations d'addition et de multiplication, qui se définissent de la même manière que dans l'ensemble des nombres réels. L'addition de deux polynômes consiste à additionner les termes de même degré de chaque polynôme. Ainsi, l'addition d'un binôme et d'un trinôme s'effectue comme suit : (aX3 + bX2 - cX) + (dX + e) = aX3 + bX2 - cX + dX + e = aX3 + bX2 + (d - c) X + e La multiplication de deux polynômes s'effectue en multipliant chacun des termes d'un polynôme par chacun des termes de l'autre. Par exemple, le produit d'un binôme par un trinôme s'effectue de la façon suivante : (aX3 + bX2 - cX) (dX + e) = adX4 + aeX3 + bdX3 + beX2 - cdX2 - ceX À la suite de ces opérations, tous les termes de même degré peuvent être regroupés afin de simplifier l'expression entière, comme suit : (aX3 + bX2 - cX) (dX + e) = adX4 + (ae + bd) X3 + (be - cd) X2 - ceX Voir polynômes. 4.2 Factorisation La factorisation consiste à transformer une expression algébrique complexe en un produit de plusieurs termes plus simples. Elle utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Par exemple, l'expression 2 x3 + 8x2y peut être factorisée en s'écrivant : 2x2 (x + 4y). Cependant, certaines expressions algébriques ne peuvent pas être factorisées en utilisant des coefficients réels. Les polynômes qui leur sont associés sont alors appelés polynômes premiers. Voici quelques factorisations usuelles d'expressions algébriques : Pour effectuer une factorisation, il est souvent utile de procéder au regroupement des termes, comme dans l'exemple suivant : 4.3 Plus petit commun multiple En algèbre, lorsque l'on effectue une addition ou une soustraction de fractions, on doit procéder à la recherche du plus petit commun multiple de leurs dénominateurs. Cette procédure est analogue à celle utilisée en arithmétique pour additionner ou soustraire des fractions : leurs dénominateurs doivent être identiques (voir addition ; soustraction). Pour cela, la manière la plus simple consiste à multiplier tous les dénominateurs entre eux. Par exemple : Mais le produit bd peut très bien ne pas correspondre au plus petit dénominateur commun, comme dans le cas où l'un des deux dénominateurs est multiple de l'autre. En algèbre, la recherche du plus petit commun multiple des dénominateurs s'avère similaire. Lorsqu'on effectue l'addition ou la soustraction de plusieurs expressions algébriques, le plus petit commun multiple de ces dernières correspond au terme de plus bas degré et affecté du plus faible coefficient possible, que chaque expression peut exactement diviser. Ainsi, pour déterminer un multiple commun aux termes 2 x2y, 30x2y2 et 9ay3, on décompose chaque terme en produit de facteurs premiers. Les coefficients numériques 2, 30 et 9 se décomposant respectivement en 2, 2 × 3 × 5, et 3 × 3. Le plus petit commun multiple de ces coefficients est donc 2 × 3 × 3 × 5 = 90 ( voir arithmétique). De même, comme la constante a n'apparaît qu'une seule fois dans les trois expressions algébriques de départ, elle doit faire également partie du plus petit commun multiple, tout comme les variables, x2 et y3. Ainsi, le plus petit commun multiple des trois termes considérés est finalement 90ax2y3. On peut vérifier que chaque terme divise exactement cette expression. 5 THÉORIE DES ÉQUATIONS L'algèbre propose un ensemble d'outils permettant de résoudre divers problèmes à l'aide d'équations et d'inéquations. Pour résoudre une équation, on s'attache en fait à mettre en oeuvre la même procédure arithmétique ou algébrique de chaque côté du signe égal. En utilisant les propriétés des opérations arithmétiques (commutativité, associativité, existence d'éléments neutres pour l'addition et pour la multiplication, et distributivité), on isole les variables d'un côté du signe égal, et les termes constants de l'autre. Ainsi, l'écriture de cette égalité peut être amenée à une expression où figure la ou les valeurs inconnues d'un côté du signe =, tandis que de l'autre côté se trouve une constante. 5.1 Équations linéaires Par exemple, pour résoudre l'équation linéaire à une inconnue 5x + 6 = 3x + 12, on soustrait le terme 3x des deux côtés de l'équation : Le nombre 6 est ensuite retranché à son tour des deux côtés : Puis, pour isoler x à gauche, on divise les deux côtés de l'équation par 2 : La solution s'obtient alors directement : x = 3. On peut vérifier le résultat en remplaçant x dans l'équation de départ par la valeur 3, montrant ainsi que les deux termes de l'égalité sont bien égaux. En effet : 5x + 6 = 5 × 3 + 6 = 21 >3x + 12 = 3 × 3 + 12 = 21 5.2 Équations du second degré Considérons l'équation du second degré à une inconnue, de forme générale Selon la nature de cette équation, on peut déterminer un certain nombre de solutions approchées ou exactes. Si l'équation peut être factorisée, alors les solutions sont exactes. Ainsi, l'équation peut d'abord s'écrire sous la forme standard : On peut la factoriser : Grâce à cette factorisation, on remarque que l'équation est vérifiée si et seulement si l'un de ses facteurs est égal à zéro, c'est-à-dire si x = 5 ou x = - 2. Là encore, on peut vérifier ces solutions en les substituant dans l'équation originale. Ainsi, 52 3 × 5 - 10 = 0 et (- 2)2 - 3 × (- 2) - 10 = 0. Voir aussi équations, théorie des. 6 GROUPES, ANNEAUX ET CORPS Groupes, anneaux et corps constituent trois structures fondamentales de l'algèbre. Un groupe est un ensemble E muni d'une loi de composition interne T, associative, possédant un élément neutre e tel que, pour tout élément a de E, a T e = e T a = a, et telle que tout élément x de E admette un symétrique y tel que x T y = y T x = e. Par exemple, l'ensemble des entiers relatifs muni de la loi de composition d'addition forme un groupe. En effet, l'addition est associative, possède un élément neutre (0), et implique, pour tout entier relatif z, l'existence d'un symétrique (- z). Voir groupes. Un anneau est un ensemble E muni de deux lois de composition, la première conférant à E une structure de groupe commutatif, et la seconde étant associative et distributive par rapport à la première. Ainsi, l'ensemble des entiers relatifs muni de l'addition et de la multiplication constitue un anneau, la multiplication étant distributive par rapport à l'addition. La structure de corps dérive de celle d'anneau (voir anneaux et corps). Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.