Abel, Niels Henrik - mathématiques.

Abel, Niels Henrik - mathématiques. 1 PRÉSENTATION Abel, Niels Henrik (1802-1829), mathématicien norvégien qui a fondé avec Carl Jacobi la théorie des fonctions elliptiques, et qui s'est distingué dans l'étude des équations algébriques et des séries. 2 UNE PASSION PRÉCOCE Né sur l'île de Finnøy, second fils d'une famille de sept enfants, Niels Abel montre très tôt ses capacités et sa passion pour les mathématiques. Vers l'âge de quinze ans, il étudie et assimile les travaux de grands maîtres tels Leonhard Euler, Joseph Lagrange ou Carl Gauss. La mort de son père (pasteur rationaliste) survient alors qu'il n'a que 18 ans et il est obligé de donner des leçons pour nourrir sa famille tout en effectuant ses recherches en algèbre et en analyse. Ses efforts sont récompensés en 1822, où il obtient une bourse pour entrer à l'université de Christiania (actuelle Oslo). 3 DES RÉSULTATS IMPORTANTS MAIS MÉSESTIMÉS En 1823, Abel démontre un résultat algébrique fondamental, à savoir qu'il est impossible de résoudre par radicaux l'équation générale du cinquième degré ( voir théorie des équations). En effet, alors que l'on connaît depuis le XVIe siècle des formules permettant d'écrire les solutions réelles des équations du troisième degré (formule dite de Cardan) et du quatrième degré (méthode conçue par Ludovico Ferrari, un élève de Jérôme Cardan), la résolution de l'équation au cinquième degré résiste aux mathématiciens depuis trois siècles. Ne parvenant pas à trouver une solution à ce problème, Abel s'attache à démontrer que de telles formules n'existent pas pour les équations du cinquième degré. Ce résultat sera généralisé grâce aux travaux d'Évariste Galois. C'est à Abel, que l'on doit la notion de nombres algébriques, qui sont des solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers (Ã est algébrique puisqu'il est solution de x2 - 2 = 0, alors que le mathématicien français Charles Hermite (1822-1901) a démontré que le nombre réel e n'était pas algébrique). En 1825, Abel désire montrer ses travaux à Gauss, qui règne alors sur les mathématiques ; mais celui-ci n'accorde malheureusement aucune attention à son mémoire. 4 UN DES FONDATEURS DE LA THÉORIE SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES Parallèlement et indépendamment du mathématicien allemand Carl Jacobi, Abel pose les fondements de la théorie des fonctions elliptiques dans un mémoire intitulé Recherches sur les fonctions elliptiques (1827). Ces fonctions associées à une variable complexe s'obtiennent par inversion d'intégrales particulières appelées intégrales elliptiques introduites par Adrien Marie Legendre. On les appelle elliptiques car elles interviennent notamment dans le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse. Elles sont d'une grande importance en analyse mathématique et en théorie des nombres. 5 SES AUTRES CONTRIBUTIONS Par ailleurs, Abel donne au calcul infinitésimal des fondements solides et précis. Dans ce cadre, il clarifie les propriétés de convergence des séries. On lui doit le critère de convergence (ou règle d'Abel) pour les séries et les intégrales, et la transformation d'Abel qui est l'équivalent de l'intégration par partie des intégrales. C'est également lui qui introduit le cercle de convergence des séries entières. Le nom d'Abel est aussi associé à la théorie des groupes : un groupe abélien étant un groupe ayant une loi de composition commutative. 6 UNE CONSÉCRATION POSTHUME En 1826, lors d'un voyage d'étude en Allemagne et en France, Abel fait part de son mémoire d'analyse au baron Augustin Cauchy, mais celui-ci (à l'instar de Gauss précédemment) n'y prête pas l'attention méritée et l'oublie pendant plusieurs années. Pauvre, atteint de tuberculose, Abel meurt à l'âge de 26 ans. À titre posthume, il reçoit le grand prix de l'Académie des sciences en 1830, Cauchy ayant retrouvé ses travaux. En 2002, à l'occasion du bicentenaire de la naissance de Niels Abel (5 août 1902), un prix international de mathématiques -- le prix Abel --, d'importance équivalente à celle d'un prix Nobel, est créé par le gouvernement norvégien, avec l'appui de l'Union mathématique internationale (UMI) et de la Société mathématique européenne (SEM). Le premier prix Abel est décerné en 2003 par l'Académie des sciences et des lettres de Norvège au mathématicien français Jean-Pierre Serre. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.