Rappel CPGE 2 Primitives et intégrales

« Rappel CPGE 2 Primitives et intégrales 1 – Primitives d’une fonction : 1) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et F  f sur I.

Autrement dit, F est une solution de l’équation différentielle y  f . 2) Théorème (admis) : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. 3) Propriétés : a) Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit F une primitive de f.

Alors toutes les primitives de f définies sur I sont de la forme G : x  F(x) + C avec C   .

Autrement dit, deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

On dit que f admet une famille de primitives sur I. b) Primitive unique : Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

Parmi les primitives de f définies sur I, il en existe une et une seule G prenant une valeur donnée y0 pour une valeur donnée x0 de la variable c’est-à-dire telle que G (x0) = y0. c) Propriété : Soient F et G deux primitives d’une même fonction f sur I.

Si a et b sont deux réels de I alors : F b  Fa   G b  G a  . 4) Primitive usuelles, calculs de primitives : On détermine des primitives par lecture inverse du tableau des dérivées (on adapte certaines formules) ou bien en dérivant des primitives données afin de retrouver la fonction étudiée. a) Tableau des primitives de fonctions usuelles : Dans ce tableau, C   . f est définie par Sur Les primitives F de f sont définies par f x  a  F  x   ax  C f x  x  f x   xn  si n > 0 ;0 ou 0;  si n    1 n  0 et n  -1 Fx   Fx   1 2 x C 2 1 x n 1  C n 1 f x   1 x² ;0 ou 0;  1 Fx    C x f x  1 0;  F x   2 x  C f x   ex  Fx   ex  C f  x   e x  F  x   e x  C f  x   eax  b  1 F  x   eax b a f x   x 1 x f (x)  ln  x  F  x   ln  x   C 0;  ;0 F  x   ln x   C 0;  F  x   x ln  x   x  C 1 M.

ALBERNI Lycée ND de Bon Secours b) Opérations sur les primitives : Dans ce paragraphe, C   . Somme : Si F est une primitive de f sur I et G est une primitive de g sur I alors F + G est une primitive de f + g sur I. Multiplication par un nombre : Si F est une primitive de f sur I alors k  F est une primitive de k  f sur I (k un réel). (Tout nombre multiplié dans la fonction se retrouve multiplié pour une primitive) Dans la suite, u est une fonction dérivable définie sur I telle que les calculs existent.

Pour simplifier les notations, la variable x n’est pas écrite. 1 n 1 Puissance de fonction : f  u u n (n    1 ) F u C n 1 u' 1 Inverse d’un carré de fonction : f (u(x)  0) F  C u² u u Racine carré : (u(x)  0) F  2 u C f u Exponentielle d’une fonction : f  u e u F  eu  C  ln  u   C si u  0 u F  ln u  C   Logarithme d’une fonction : . f (u(x)  0) ln u   C si u  0 u  Remarque : Attention certaines fonctions admettent des primitives mais on ne peut pas donner leurs expressions explicites. Exemple : x  ex . 2 Méthode : Comment montrer qu’une fonction donnée est une primitive d’une fonction ? Si la potentielle primitive est donnée alors il suffit de la dériver et de retrouver la fonction f. Application : Montrer que la fonction définie sur 0;  par F  x   x ln x  x est une primitive de f  x   ln x sur 0;  . Démonstration : La fonction f et dérivable sur 0;  par produit et somme de fonctions usuelles dérivables sur 0;  .

Pour tout x > 0, F  x   1  ln x  x  1  1  ln x  f (x) .

F est une primitive de ln sur 0;  . x Méthode : Comme déterminer la famille des primitives d’une fonction à partir des opérations ? Il faut déterminer la bonne formule à utiliser dans la feuille précédente.

Par contre, la fonction dont on détermine ainsi les primitives doit bien être préparée pour faire apparaître la formule.

Si besoin, on multiplie par des réels constants que l’on compense.

Ensuite, on applique la formule. Application : Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur les ensembles où elles existent et sont continues : 2 2 1  ex a) f  x    3x  1 3x 2  2x  1 b) g  x    6x  3  e  x  x 1 c) h  x   sur 0;  . x  ex   Démonstration : a) On reconnait la formule puissance d’une fonction f  u u n .

Vérifions si la formule et prête.

On pose dans  , u  x   3x 2  2x  1 donc u   x   6x  2 .

La formule n’est pas prête.

Alors préparons la fonction en multipliant par 2 et en 2 2 1 1 1 1 : Pour tout x, f  x    2   3x  1 3x 2  2x  1   6x  2  3x 2  2x  1  u   x  u 2  x  donc pour 2 2 2 2 3 1 1 3 1 tout x, F  x    u  x   C  3x 2  2x  1  C .

 C    . 2 3 6  compensant par  b) g  x    6x  3  e  x 2  x 1     .

On reconnait la formule exponentielle d’une fonction.

On pose dans  , u  x    x 2  x  1 alors u   x   2x  1 .

La formule n’est pas prête.

Alors préparons la fonction en factorisant par 3 : Pour tout x, g  x   3  2x  1 e x 2  x 1  3u eu donc pour tout x, F  x   3e u x  C  3e x 2  x 1  C .

C   2 M.

ALBERNI Lycée ND de Bon Secours 1  ex sur 0;  .

On reconnait la formule du logarithme d’une fonction.

On pose u  x   x  e x alors x  ex u  x  u   x   1  e x .

Nous avons h  x   avec u(x) > 0 sur 0;  .

Donc pour tout x > 0, F  x   ln u  x   C  ln x  e x  C u x c) h  x     .

C   Méthode : Comment déterminer la primitive unique d’une fonction à partir de conditions initiales ? On recherche la famille de primitives associées à f.

En remplaçant par les conditions initiales, nous calculons la constante C grâce à une équation. Application : Déterminer la primitive la fonction définie sur  par f  x   3x 2  2x  e x qui vaut 5 en 0. Démonstration : Avec la formule x n et e x , pour tout x, F  x   x 3  x 2  e x  C C   .

F(0) = 5 alors.... »